Ответ:

Доказать тождество .

[tex]\displaystyle \bf \Big(1+\frac{1}{cos2a}+tg\, 2a\Big)\Big(1-\frac{1}{cos2a}+tg\, 2a\Big)=2\, tg\, 2a[/tex]    

Применяем формулы косинуса и синуса двойных углов :

[tex]\bf sin2a=cos^2a-sin^2a\ \ ,\ \ sin2a=2\, sina\cdot cosa\ \ ,[/tex]  а также  тождество

[tex]\bf sin^2a+cos^2a=1\ \ ,\ \ tg2a=\dfrac{sin2a}{cos2a}[/tex]    .                    

[tex]\displaystyle \bf \Big(1+\frac{1}{cos2a}+tg\, 2a\Big)\Big(1-\frac{1}{cos2a}+tg\, 2a\Big)=\\\\\\=\Big(1+\frac{1}{cos2a}+\frac{sin2a}{cos\, 2a}\Big)\Big(1-\frac{1}{cos2a}+\frac{sin2a}{cos\, 2a}\Big)=\\\\\\=\frac{cos\, 2a+1+sin2a}{cos2a}\cdot \frac{cos\, 2a-1+sin2a}{cos\, 2a}=\\\\\\=\frac{(cos^2a-sin^2a)+(sin^2a+cos^2a)+sin2a}{cos^2a-sin^2a}\, \times \\\\\\\times \frac{(cos^2a-sin^2a)- (sin^2a+cos^2a)+sin2a}{cos2a}=[/tex]      

[tex]\bf \displaystyle =\frac{2cos^2a-2sina\cdot cosa}{(cosa-sina)(cosa+sina)}\cdot \frac{-2sin^2a+2sia\cdot cosa}{cos2a}=\\\\\\=\frac{2cosa\cdot (cosa-sina)}{(cosa-sina)(cosa+sina)}\cdot \frac{2sina\cdot (sina+cosa)}{cos2a}=\\\\\\=\frac{2\cdot 2\, sina\cdot cosa}{cos2a}=\frac{2\cdot sin2a}{cos2a}=2\, tg\, 2a\\\\\\2\, tg\, 2a=2\, tg\, 2a[/tex]  

Тождество доказано .