Ответ:

Применяем правила дифференцирования и таблицу производных .

[tex]\bf y=ln\, tg(x)\ \ ,\ \ x_0=\dfrac{\pi }{4}[/tex]  

Формула :  [tex]\bf (ln\, u)'=\dfrac{1}{u}\cdot u'\ \ ,\ \ \ u=tg(x)[/tex]   .

[tex]\bf y'=\dfrac{1}{tgx}\cdot (tgx)'=\dfrac{1}{tgx}\cdot \dfrac{1}{cos^2x}=\dfrac{cosx}{sinx}\cdot \dfrac{1}{cos^2x}=\dfrac{1}{sinx\cdot cosx}=\dfrac{2}{sin2x} \\\\\\y'\Big(\dfrac{\pi }{4}\Big)=\dfrac{2}{sin\dfrac{\pi }{2}}=\dfrac{2}{1}=2[/tex]