Так как векторы p и q взаимно перпендикулярны то переведём их в координатный вид. p = (4; 0), q = (0; 2).

Теперь находим:

a = p + 2q,  p = (4; 0), 2q = (0; 4).

a= (4+0; 0 + 4) = (4; 4).

b = 3p - q ,  3p = (12; 0), -q = (0; -2)

b = (12-0; 0 - 2) = (12; -2).

1)Длины диагоналей находим как модули векторов

d1 = ВС = a – b = (4-12; 4-(-2)) = (-8; 6).

Длина равна √(64 + 36) = √100 = 10.

d2 = АД = a + b = (4+12; 4+(-2)) = (16; 2).

Длина равна √(256 + 4) = √260 = 2√65 ≈ 16,1245.

2) Находим угол между векторами а = (4; 4) и b = (12; -2).

Модули векторов равны:

|a| = √(4² + 4²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.

|b| = √(12² + (-2)²) = √(144 + 4) = √148 = 2√37.

cos(a_b) = (4*12 + 4*(-2))/( 4√2*2√37) = 40/(8√74) = 5√74/74.

Угол равен arc cos(5√74/74) = 0,95055 радиан или 54,46232 градуса.

3) Площадь параллелограмма на векторах равна модулю их векторного произведения.

i           j        k |         i          j    

4         4        0 |        4         4

       12       -2        0 |        12       -2    = 0i + 0j – 8k – 0j – 0i – 48k =

                                                           = 0i + 0j – 56k.

S = |-56| = 56 кв. ед.

Проверяем решение по другой формуле.

S = a*b*sin(a_b) = 4√2*2√37*√(1 – (5√74)²) = 8√74*√(49/74) = 56.