Ответ:

Давайте розглянемо кожну з нерівностей окремо:

1) \(\frac{1}{3} < 3^x + 3 < 9\)

Спростимо це нерівність:

Спершу віднімемо 3 від всіх частин:

\(\frac{1}{3} - 3 < 3^x < 9 - 3\)

\(-\frac{8}{3} < 3^x < 6\)

Тепер візьмемо логарифм з основою 3 від всіх частин:

\(\log_3\left(-\frac{8}{3}\right) < \log_3(3^x) < \log_3(6)\)

\(\log_3\left(-\frac{8}{3}\right) < x < \log_3(6)\)

Зверніть увагу, що \(\log_3\left(-\frac{8}{3}\right)\) не має дійсних розв'язків, оскільки логарифм з від'ємного числа не визначений. Тому нерівність не має цілих розв'язків.

2) \(\frac{1}{8} < 2^2 - x \leq 16\)

Спростимо це:

\(\frac{1}{8} < 4 - x \leq 16\)

Віднімемо 4 від всіх частин:

\(\frac{1}{8} - 4 < -x \leq 16 - 4\)

\(-\frac{31}{8} < -x \leq 12\)

Перевернемо нерівність та помножимо обидві сторони на -1:

\(\frac{31}{8} > x \geq -12\)

Таким чином, цілі розв'язки для цієї нерівності - це всі цілі числа в інтервалі від -12 до \(\frac{31}{8}\), включаючи -12 і виключаючи \(\frac{31}{8}\).