90 БАЛОВ
Принцип Дирихле
Дано 8 натуральных чисел <15
Доказать, что среди положительных попарных разниц всегда есть 3 одинаковых
Принцип Дирихле
Дано 8 натуральных чисел <15
Доказать, что среди положительных попарных разниц всегда есть 3 одинаковых
Answers & Comments
всего попарных разниц: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28
эти разницы могут принимать значения от 1 до 13 (14 - 1 = 13, 14 самое большое натуральное число, которое меньше 15, 1 самое маленькое натуральное число)
если предположить, что каждое число встречается не более двух раз, то всего разниц должно быть не более 13*2 = 26
по принципу Дирихле, есть хотя бы одно число, которое встретилось трижды
Ответ: доказано
Verified answer
Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – возьмем 14 столиков. На них мы будем класть шарики, ими, конечно, должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако имеется 28 пар и их можно разложить по 14 столикам так, что на каждом столике будет лежать ровно два «шарика» (и значит, на каждом меньше трех). Здесь надо использовать дополнительное соображение: на столикн с номером 14 может лежать не боллее одного шарика, ведь число 14 можно записать как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15 – 1. Значит, на оставшихся 13 столиках лежит не менее 27 шариков, и применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.