Ответ:

Исследовать ряд на сходимость по радикальному признаку Коши .

[tex]\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big(\dfrac{n+2}{2n+1}\Big)^{n^2}\\\\\\\boldsymbol{\lim\limits _{n \to \infty}\, \sqrt[n]{u_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \sqrt[n]{\Big(\dfrac{n+2}{2n+1}\Big)^{n^2}}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \Big(\dfrac{n+2}{2n+1}\Big)^{n}=\Big[\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{+\infty }\Big]=0 < 1}[/tex]

Ряд сходится, так как предел меньше 1 .