9.18. Давайте спершу обчислимо a та b за заданими залишками (mods): a = -4 (mod 6) означає, що a = 6k - 4 для деякого цілого k. b = -9 (mod 6) означає, що b = 6m - 9 для деякого цілого m.

3a + 4b = 3(6k - 4) + 4(6m - 9) = 18k - 12 + 24m - 36 = 18k + 24m - 48.

a² - b = (6k - 4)² - (6m - 9) = 36k² - 48k + 16 - 6m + 9 = 36k² - 6m - 48k + 25.

6² + ba = 6² + (6k - 4)(6m - 9) = 36 + 36km - 54k - 24m + 36 = 36km - 54k - 24m + 72.

9.20. Щоб довести, що остача при діленні на 3 квадрата цілого числа може бути лише 0 або 1, розглянемо всі можливі варіанти остач:

Для будь-якого цілого числа n, n може бути представлене однією з форм: 3k, 3k + 1, або 3k + 2, де k - ціле число.

Розглянемо квадрати цих форм:

(3k)² = 9k² = 3(3k²) - кратне 3 (остача 0).

(3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1 - остача 1.

(3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1 - остача 1.

Ответ: Отже, квадрати цілих чисел можуть мати остачу при діленні на 3 лише 0 або 1.