Решение.

[tex]\bf 1)\ \ cos^2x-2cosx\cdot sinx=0[/tex]  

Выносим общий множитель за скобку .

[tex]\bf cosx\cdot (cosx-2sinx)=0[/tex]  

Произведение равно 0 , когда хотя бы один из множителей равен 0 .

[tex]\bf a)\ \ cosx=0\ \ \to \ \ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ cosx-2sinx=0\ \ ,\ \ sinx=\dfrac{1}{2}\, cosx\ \ \Big|:cosx\ne 0\ ,\\\\tgx=\dfrac{1}{2}\ \ \to \ \ \ x=arctg\dfrac{1}{2}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\Otvet:\ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ ,\ \ x=arctg\dfrac{1}{2}+\pi k\ ,\ n,k\in Z\ .[/tex]  

[tex]\bf 2)\ \ tgx+3ctgx=4\ \ \to \ \ tgx+3\cdot \dfrac{1}{tgx}-4=0\ \ ,\\\\\dfrac{tg^2x-4\, tgx+3}{tgx}=0\ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}\bf tg^2x-4\, tgx+3=0\\\bf tgx\ne 0\end{array}\right\\\\\\a)\ \ tg^2x-4\, tgx+3=0\\\\zamena:\ t=tgx\ \ \to \ \ t^2-4\, t+3=0\ \ ,\ \ t_1=1\ ,\ t_2=3\ \ (teorema\ Vieta)\\\\tgx=1\ \ \to \ \ x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\tgx=3\ \ \to \ \ x=arctg3+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\b)\ \ tgx\ne 0\ \ \to \ \ x\ne \pi m\ ,\ m\in Z[/tex]

[tex]\bf Otvet:\ x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n\ ,\ \ x=arctg3+\pi k\ ,\ \ n,k\in Z\ .[/tex]