Ответ:

Позначимо через S площу основи правильної трикутної піраміди. Оскільки кут при основі дорівнює a, то кожний з кутів, утворених між бічною гранню і гранню основи, дорівнює (180 - a) / 2.

Таким чином, висота піраміди (від вершини до центру основи) дорівнює L * cos[(180 - a) / 2]. З попереднього пункту також відомо, що висота піраміди (від вершини до центру основи) дорівнює (a/2) * cot(60), де 60 - це кут при основі правильної трикутної піраміди.

Отже, маємо рівняння:

L * cos[(180 - a) / 2] = (a/2) * cot(60)

Виразимо a з цього рівняння:

a = 2 * arccos(L * cot(30) / sqrt(3))

Тепер, щоб знайти об'єм піраміди, використаємо формулу:

V = (1/3) * S * h,

де S - площа основи, h - висота піраміди. З попередніх розрахунків відомо, що висота піраміди дорівнює L * cos[(180 - a) / 2]. Тому,

V = (1/3) * S * L * cos[(180 - a) / 2]

Підставимо значення a з попередніх розрахунків та знайдемо об'єм:

V = (1/9) * S * L^3 * cos^3[(180 - a) / 2] * cot^2(30)