Ответ:

а) На 16 прямоугольников из которых будут в любых сочетаниях штук:

- квадрат 2х2

- прямоугольник 4х1

б) на 21 прямоугольник, из которых

- 1 квадрат 2х2,

- остальные 20 прямоугольников 3х1.

Пошаговое объяснение:

Для решения будем исходить из следующей предпосылки:

- доска является квадратом и разбита на 64 малых квадрата (8 на 8 клеток)

- минимальная единица размера/площади равна 1 шахматной улетке

- цвет клетки значения не имеет и квадрат белого цвета считается одинаковым по сравнению с черным квадратом

а) Очевидно, что число прямоугольников будет равно

N = 64 : S,

где S - площадь каждого прямоугольника.

Так как в условии прямо указано, что есть неравные прямоугольники - следовательно квадрат 1х1 с площадью 1 не подходит - у него нет различных вариаций.

Очевидно, что прямоугольники площадью 2, 3 клетки тоже имеют только один формат: 2х1 и 3х1 соответственно - не подходит (прямоугольник площадью 3 еще и потому, что 64 не делится нацело на 3)

Так что ближайшее подходящее - это прямоугольник площадью 4 который имеет различные формы:

- квадрат 2х2

- прямоугольник 4х1

И значит, такие прямоугольники нам подходят. А их число будет равно

N = 64 : 4 = 16 шт.

Вариантов разрезки - множество. Один для примера:

Отрезать сверху доски полоску длиной 8 шириной 2 клетки. Далее полоску разрезать на 4 квадрата 2х2. Оставшуюся доску (8х6) разрезать на шесть полос 8х1. Каждую полосу - пополам: получим 12 прямоугольников 4х1.

Получим 4 квадрата 2х2 плюс 12 прямоугольников 4х1 = 16 фигур

б) Периметр равен удвоенной сумме длин сторон прямоугольника:

Р = 2•(a+b)

Так как в условии прямо указано, что есть неравные прямоугольники - следовательно квадрат 1х1 с периметром 4 не подходит - у него нет различных вариаций.

Очевидно, что прямоугольник 2х1 клетки тоже имеет только один формат, соответственно - не подходит

Ближайший подходящий периметр равен 8: он у прямоугольника 3х1 и квадрата 2х2

P(3x1) = P(2x2) = 2•(3+1)=2•(2+2) = 8

Следовательно, это и есть подходящая нам вариация.

Следует учесть, что прямоугольники имеют разную площадь

S(3x1) = 3

S(2x2)= 4

Следовательно, прямоугольников 3х1 должно быть максимальное число: так как на 3 оно нацело не делится, попробуем разбивку 1 квадрат 2х2 и остальные 3х1. Тогда прямоугольников 3х1 должно быть

(64 - 4) : 3 = 60 : 3 = 20 шт.

Итого будет 21 прямоугольник, из которых

- 1 квадрат 2х2,

- остальные 20 прямоугольников 3х1.

Вариант разбивки:

Вырезаем полосу 8х2, как в задании (а).

Отрезаем от нее квадрат 2х2, остаток отрезанного (это прямоугольник 6х2) режем на 4 полоски 3х1.

Оставшуюся часть доски (8х6) режем на 2 части 8х3. Каждую из этих частей режем на восемь вертикальных полоски 3х1

Итого 1 (2х2) + 4 полоски 3х1 + 2•8 полосок 3х1

Всего 1 + 4 + 8 + 8 = 21 прямоугольник.