Ответ:

n=19

Объяснение:

Для начала скажем, что корень один(возможно мы уже изначально это полагаем, тем не менее)

[tex]f'(x)=13x^{2} +7x^{6}+1[/tex], что говорит о том, что функция возрастает на всей числовой прямой и одному значению y соответствует один x.

Дальше я уже рассматриваю число 'a' по большей части как оно и есть(за число... ну почти), то есть уже нашлось конкретное число a, для которого верны следующие равенства и требуется найти n

[tex]\left \{ {{a^{13}+a^{7}+a =1} \atop {a^{6}+a =a^{n}+1 }}[/tex]

[tex]a=\frac{1}{a^{12}+a^{6} +1 } =\frac{1-a^{6} }{1-a^{18} }[/tex](замечаем, что в знаменателе геом. прогрессия и преобразовываем).

Теперь я хочу поработать со вторым равенством, перенести единицу и прологарифмировать. Однако нужно доказать что выражение положительное, что действительно так, ведь при x≤0 решений уравнения нет, значит a>0 и a^n>0:

[tex]n=log_a(a^{6} +a-1)[/tex], теперь вместо одного из слагаемых подставить то, что выводилось раннее.

[tex]n=log_a(a^{6}+\frac{1-a^{6} }{1-a^{18} } -1)=log_a([1-a^{6}][\frac{1}{1-a^{18} }-1])=log_a([1-a^{6}][\frac{1-1+a^{18} }{1-a^{18} } ])=log_a(a^{18}(\frac{1-a^{6} }{1-a^{18} }))=log_aa^{19}=19[/tex]