Verified answer

Ответ:

1. Доказано, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ.

2. Доказано, что каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Объяснение:

Докажите, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

• Прямая перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину называется серединным перпендикуляром.

1. Дано: АВ - отрезок;

АС = СВ; СК ⊥ АВ.

Доказать: АК = КВ.

Доказательство:

Рассмотрим ΔАКС и ΔСКВ - прямоугольные.

КС - общая,

АС - СВ (по условию)

⇒ ΔАКС = ΔСКВ (по двум катетам)

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ АК = КВ.

• Все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ.

2. Сформулируем обратное утверждение:

• Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Дано: АВ - отрезок.

АМ = МВ;

СК - серединный перпендикуляр.

Доказать: М ∈ СК.

Доказательство:

Соединим точки М и С.

Рассмотрим ΔАМВ.

АМ = МВ (по условию)

⇒ ΔАМВ - равнобедренный.

АМ - медиана (построение)

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.

⇒ АМ - высота.

• Через точку С можно провести перпендикуляр к данной прямой, причем только один.

⇒ СМ и СК совпадают ⇒ М ∈ СК.

Что и требовалось доказать.

#SPJ1