Ответ:

Даны векторы  

[tex]\bf \vec{a}=\{1;2;-2\}\ ,\ \vec{b}=\{-5;0;1\}\ ,\ \vec{c}=3\vec{i}+4\vec{j}\ \ \to \ \ \vec{c}=\{3;4;0\}[/tex]

Найти проекцию вектора  [tex]\bf 2\vec{a}-\vec{b}[/tex]  на вектор   [tex]\bf \vec{c}[/tex]  :  пр.[tex]\bf {}_{\vec{c}}\, (2\vec{a}-\vec{b})[/tex]  .

[tex]\bf 2\vec{a}-\vec{b}=\{2+5\, ;4-0\ ;-4-1\}=\{7\, ;4\, ;-5\, \}[/tex]  

Скалярное произведение  [tex]\bf (2\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=7\cdot 3+4\cdot 4-5\cdot 0=21+16=37[/tex]

Длина вектора  [tex]\bf |\, \vec{c}\, |=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5[/tex]  

пр.[tex]\bf {}_{\vec{c}}\, (2\vec{a}-\vec{b})=\frac{37}{5}=7,4[/tex]    

Направляющие косинусы вектора  [tex]\bf \vec{a}[/tex]  равны  

[tex]\bf cos\alpha =\dfrac{x_{a}}{|\vec{a}|}\ ,\ cos\beta =\dfrac{y_{a}}{|\vec{a}|}\ ,\ cos\gamma =\dfrac{z_{a}}{|\vec{a}|}[/tex]   .

[tex]\bf |\, \vec{a}\, |=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt9=3\\\\cos\alpha =\dfrac{1}{3}\ ,\ cos\beta =\dfrac{2}{3}\ ,\ cos\gamma =-\dfrac{2}{3}[/tex]