Назовем первым велосипедистом того, у кого скорость больше. Тогда до первой встречи второй велосипедист пройдет некоторое расстояние [tex]d < S/2[/tex], а первый [tex]S-d > S/2[/tex], где [tex]S[/tex] - длина круга. Очевидно, что от первой встречи до второй велосипедист с номером два пройдет еще [tex]d[/tex] в своем направлении а велосипедист с номером один еще [tex]S-d[/tex] в своем и так далее. К моменту девятой встречи второй велосипедист пройдет расстояние [tex]9d[/tex], и это будет составлять целое число кругов, при этом [tex]d,\ 2d,\ 3d... \ 8d[/tex] не должны по условию составлять целое число кругов.
Итак

[tex]9d = n_2S\qquad d = n_2S/9 < S/2[/tex]

Отсюда мы понимаем, что [tex]n_2 < 4.5[/tex], то есть в принципе может быть 1 2 3 или 4.

При этом числа [tex]d,\ 2d,\ 3d... \ 8d[/tex] образуют ряд [tex]n_2S/9,\ 2n_2S/9,\ ...,\ 8n_2S/9[/tex]

Нам не подходит [tex]n_2=3[/tex], поскольку [tex]3n_2S/9 = S[/tex] - целое число кругов. Зато подходят все прочие варианты, в которых второй велосипедист проедет 1, 2 или 4 полных круга соответственно.
Ну и наконец, так как расстояния [tex]d[/tex] и [tex]S-d[/tex] велосипедисты проходят за одинаковое время, мы получим

[tex]\displaystyle \frac{d}{v_2} = \frac{S-d}{v_1}\\\\\frac{v_1}{v_2} = \frac{S}{d}-1[/tex]
Отсюда получается три возможных варианта для [tex]v_1/v_2[/tex], а именно [tex]8[/tex], [tex]4.5[/tex] и [tex]1.25[/tex] соответственно

Детализация пройденных велосипедистами расстояний (до 1й встречи, до 2й встречи...до9й встречи)

Вариант а)
Отрезки второго велосипедиста
[tex]S/9, 2S/9, 3S/9, 4S/9, 5S/9, 6S/9, 7S/9, 8S/9, S[/tex]
Отрезки первого велосипедиста
[tex]8S/9, 16S/9, 24S/9, 32S/9, 40S/9, 48S/9, 56S/9, 64S/9, 8S[/tex]

Вариант б)
Отрезки второго велосипедиста
[tex]2S/9, 4S/9, 6S/9, 8S/9, 10S/9, 12S/9, 14S/9, 16S/9, 2S[/tex]
Отрезки первого велосипедиста
[tex]7S/9, 14S/9, 21S/9, 28S/9, 35S/9, 42S/9, 49S/9, 56S/9, 7S[/tex]

Вариант в)

Отрезки второго велосипедиста
[tex]4S/9, 8S/9, 12S/9, 16S/9, 20S/9, 24S/9, 28S/9, 32S/9, 4S[/tex]
Отрезки первого велосипедиста
[tex]5S/9, 10S/9, 15S/9, 20S/9, 25S/9, 30S/9, 35S/9, 40S/9, 5S[/tex]