Ответ: x = 1
Пошаговое объяснение:
Найти корни уравнения|x² + 7x + 10| = |x² + 2x + 5| + |x +9|
Рассмотрим квадратное уравнение, находящиеся в правой части
x² + 2x + 5 = 0
D = 4 - 20 < 0 ⇒ оно положительно при любых действительных значениях x - са, а значит модуль мы можем убрать
|x² + 7x + 10| = x² + 2x + 5 + |x +9|
Переносим модули в одну сторону
|x² + 7x + 10| - |x +9| = x² + 2x + 5
Найдем нули модулей
x² + 7x + 10 = 0
По теореме Виета
x₁ = -2 , x₂ = -5 ⇒ x² + 7x + 10 = (x +2)(x+5)
x + 9 = 0 ⇒ x = -9
Отображаем данные точки на прямой
[tex]\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.915,-0.2) {\sf -9} \put(0.3 ,0.09){ \Large \sf I } \put(1.3 ,0.09){ \Large \sf II } \put(2.38 ,0.09){ \Large \sf III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){3}} \put(1.95,-0.2) {\sf -5} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \put(3.01,0) {\line(0,3){0.3}}\put(2.93,-0.2) {\sf -2} \put(3.3 ,0.09){ \Large \sf IV } \end{picture}[/tex]
+ + — + (x+2)(x+5)
— + + + x + 9
I) x ∈ ( - ∞ ; - 9)
x² + 7x + 10 + x + 9 = x² + 2x + 5
8x + 19 = 2x + 5
6x = -14
[tex]x = -2\dfrac{1}{3}\notin (- \infty ~ ; ~ -9 )[/tex]
II) x ∈ [- 9 ; -5)
x² + 7x + 10 - x - 9 = x² + 2x + 5
6x + 1 = 2x + 5
4x = 4
x = 1 ∉ [- 9 ; -5)
III) x ∈ [ -5 ; -2)
-(x² + 7x + 10) - (x+ 9) = x² + 2x + 5
-x² -8x - 19 = x² + 2x + 5
2x² + 10x + 24 = 0 | : 2
x² + 5x + 12 = 0
D = 25 - 48 < 0 ⇒ x ∉ R
IV) x ∈ [ -2 ; ∞)
x = 1 ∈ [- 2 ; ∞) [tex]\checkmark[/tex]
По итогу уравнение имеет один корень x = 1
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ: x = 1
Пошаговое объяснение:
Найти корни уравнения
|x² + 7x + 10| = |x² + 2x + 5| + |x +9|
Рассмотрим квадратное уравнение, находящиеся в правой части
x² + 2x + 5 = 0
D = 4 - 20 < 0 ⇒ оно положительно при любых действительных значениях x - са, а значит модуль мы можем убрать
|x² + 7x + 10| = x² + 2x + 5 + |x +9|
Переносим модули в одну сторону
|x² + 7x + 10| - |x +9| = x² + 2x + 5
Найдем нули модулей
x² + 7x + 10 = 0
По теореме Виета
x₁ = -2 , x₂ = -5 ⇒ x² + 7x + 10 = (x +2)(x+5)
x + 9 = 0 ⇒ x = -9
Отображаем данные точки на прямой
[tex]\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.915,-0.2) {\sf -9} \put(0.3 ,0.09){ \Large \sf I } \put(1.3 ,0.09){ \Large \sf II } \put(2.38 ,0.09){ \Large \sf III } \put(1,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(1,0){3}} \put(1.95,-0.2) {\sf -5} \put(2.05,0) {\line(0,2){0.3}} \put(1,0.3) {\line(-1,0){1} } \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \put(3.01,0) {\line(0,3){0.3}}\put(2.93,-0.2) {\sf -2} \put(3.3 ,0.09){ \Large \sf IV } \end{picture}[/tex]
+ + — + (x+2)(x+5)
— + + + x + 9
I) x ∈ ( - ∞ ; - 9)
x² + 7x + 10 + x + 9 = x² + 2x + 5
8x + 19 = 2x + 5
6x = -14
[tex]x = -2\dfrac{1}{3}\notin (- \infty ~ ; ~ -9 )[/tex]
II) x ∈ [- 9 ; -5)
x² + 7x + 10 - x - 9 = x² + 2x + 5
6x + 1 = 2x + 5
4x = 4
x = 1 ∉ [- 9 ; -5)
III) x ∈ [ -5 ; -2)
-(x² + 7x + 10) - (x+ 9) = x² + 2x + 5
-x² -8x - 19 = x² + 2x + 5
2x² + 10x + 24 = 0 | : 2
x² + 5x + 12 = 0
D = 25 - 48 < 0 ⇒ x ∉ R
IV) x ∈ [ -2 ; ∞)
x² + 7x + 10 - x - 9 = x² + 2x + 5
x = 1 ∈ [- 2 ; ∞) [tex]\checkmark[/tex]
По итогу уравнение имеет один корень x = 1