Ответ:    540°  .

[tex]\bf 2\, sinx-3\, cos\, 2x=5\ \ ,\ \ \ [\ 0^\circ \ ;\ 540^\circ \ ]\\\\2\, sinx-3\, (1-2sin^2x)-5=0\\\\6\, sin^2x+2\, sinx-8=0\ \ \Big|:2\\\\3\, sin^2x+sinx-4=0[/tex]    

Замена переменных .

[tex]\bf t=sinx\ \ ,\ \ |\, t\, |\leq 1\ \ ,\ \ \ 3t^2+t-4=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=1+48=49\ ,\\\\t_1=\dfrac{-1-7}{6}=-\dfrac{4}{3} < -1\ \ ne\ podxodit\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{-1+7}{6}=1[/tex]

Обратная замена .

[tex]\bf sinx=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z[/tex]  

Корни, принадлежащие указанному сегменту:

[tex]\bf n=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{2}=90^\circ \\\\n=1\ \ ,\ \ x=\dfrac{5\pi }{2}=450^\circ[/tex]  

Cумма корней равна   [tex]\bf 90^\circ +450^\circ =540^\circ[/tex]  .