Дано:
Δ[tex]RTS[/tex] - прямоугольный
[tex]RT=12, RS=13[/tex]
[tex]TM[/tex] - высота к гипотенузе

Решение:

0. Найдём все стороны большого треугольника, докажем подобие треугольников через равенство сторон, выразим отношение сторон, выразим x

1. По теореме Пифагора
[tex]TS^2=RS^2-RT^2[/tex]
[tex]TS=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25} =5[/tex]

2. Пусть ∠[tex]TRS=\alpha[/tex], тогда
Δ[tex]RTS:[/tex] ∠[tex]RST=90^o-\alpha[/tex]
Δ[tex]RMT:[/tex] ∠[tex]RTM=90^o-\alpha[/tex]
Δ[tex]TMS:[/tex] ∠[tex]MTS=90^o-(90^o-\alpha )=\alpha[/tex]
Таким образом все три треугольника подобны друг дружке по двум углам.

3. Запишем отношение, например, меньшего катета к гипотенузе
[tex]\frac{TM}{TR}=\frac{TS}{RS}[/tex]
[tex]TM=\frac{TS*TR}{RS}[/tex]
[tex]x=\frac{5*12}{13}=\frac{60}{13}[/tex]

Ответ:  [tex]x=\frac{60}{13}[/tex]