Ответ:

Угол 45° образует плоскость AB₁C с плоскостью основания ABCD.

Объяснение:

10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания АВ = 6, ВС = 8, высота АA₁ = 4,8. Какой угол (в градусах) образует плоскость AB₁C с плоскостью основания ABCD.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁  - прямоугольный параллелепипед;

АВ = 6, ВС = 8, высота АA₁ = 4,8.

Найти: угол между (АВ₁С) и ABCD.

Решение:

• Угол между двумя плоскостями - угол между перпендикулярами, проведенными в данных плоскостях к линии пересечения плоскостей.

Проведем В₁Н ⊥ АС. Соединия точки Н и В.

• Если в плоскости через основание наклонной проведена прямая перпендикулярная самой наклонной, то она будет перпендикулярна и ее проекции.

⇒ ВН ⊥ АС

⇒ ∠В₁НВ - искомый угол.

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

АВ = 6, ВС = 8.

По теореме Пифагора найдем АС.

АС² = АВ² + ВС² = 36 + 64 = 100   ⇒   АС = 10

ВН - высота.

• Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

АВ² = АН · АС

36 = АН · 10

АН = 3,6  ⇒   НС = 10 - 3,6 = 6,4

• Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

⇒ ВН² = АН · НС = 3,6 · 6,4 = 23,04   ⇒   ВН = 4,8.

Рассмотрим ΔВВ₁Н - прямоугольный.

ВВ₁ = 4,8; ВН = 4,8

⇒ ΔВВ₁Н  - равнобедренный.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ВВ₁Н + ∠В₁НВ = 90°

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒  ∠ВВ₁Н = ∠В₁НВ = 90° : 2 = 45°.

Угол 45° образует плоскость AB₁C с плоскостью основания ABCD.

#SPJ1