Ответ:

Оскільки трикутник ABC рівносторонній, то його площа може бути знайдена за формулою:

ABC} = 3*4*a^2

де a- довжина сторони трикутника.

Побудуємо пряму BO і площину ABC:

Так як кут між прямою BO і площиною ABC дорівнює 30, то кут між прямою BO і стороною AB також дорівнює 30, оскільки сторона AB є прямою, що лежить в площині ABC. Тому трикутник ABO є рівнобедреним і кут при вершині B дорівнює 120.

Точка O знаходиться на відстані 3 см від площини ABC, тому проекція точки O на площину ABC лежить на колі радіуса 3 см з центром в точці B. Позначимо цю проекцію точкою D.

Оскільки трикутник ABO рівнобедрений і кут при вершині B дорівнює 120, то кути при основі дорівнюють (180 - 120)/2 = 30. Тому трикутник ABD є рівнобедреним і кути при основі дорівнюють 30. Так як BD=3 см, то AD=BD*30 = 3:1*3=3 см.

Отже, AD = 3 см, а сторона AB має довжину 2AD = 2*3 см. Тоді площа трикутника ABC може бути знайдена за формулою:

ABC = 3*4*a^2 = 3*4 (2AD)^2 = 3*4*4:3 = 3^2 см

Отже, площа трикутника АBC дорівню 9