Щоб довести, що чотирикутник ABCD є ромбом, нам потрібно показати, що всі його сторони однакової довжини.

Ми маємо координати вершин чотирикутника:

A(1; 3)

B(-1; 9)

C(5; 7)

D(7; 1)

Для обчислення довжини сторін чотирикутника використовуємо формулу відстані між двома точками в декартовій системі координат:

Довжина сторони AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-1 - 1)² + (9 - 3)²) = √((-2)² + (6)²) = √(4 + 36) = √40.

Довжина сторони BC: BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((5 - (-1))² + (7 - 9)²) = √((5 + 1)² + (-2)²) = √(6² + 4) = √(36 + 4) = √40.

Довжина сторони CD: CD = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((7 - 5)² + (1 - 7)²) = √(2² + (-6)²) = √(4 + 36) = √40.

Довжина сторони DA: DA = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((7 - 1)² + (1 - 3)²) = √(6² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40.

Отже, усі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину √40. Оскільки всі сторони рівні між собою, чотирикутник ABCD є ромбом.

Відповідь: чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(1; 3), B(-1; 9), C(5; 7) і D(7; 1) - ромб.