Ответ:

[tex]D\left( 1\dfrac{15}{29} ;-3\dfrac{4}{29} ;2\dfrac{7}{29} \right)[/tex]

Объяснение:

По условию задана равнобокая трапеция ABCD ( AB=CD)  .

Координаты вершин А(0; -2; 3) , В( 4; -2; 1) , С ( 0; 1; 3) .

Надо определить какие координаты могут быть у точки D.

Пусть точка  имеет координаты D( x; y; z)

Воспользуемся тем, что AB=CD и найдем расстояние между точками

[tex]AB=\sqrt{(4-0)^{2} +(-2+2)^{2} +(1-3)^{2} } =\sqrt{16+0+4} =\sqrt{20}[/tex]

[tex]CD= \sqrt{(x-0)^{2} +(y-1)^{2} +(z-3)^{2} }=\sqrt{x^{2} +(y-1)^{2} +(z-3)^{2}}[/tex]

Тогда [tex]AB^{2} =CD^{2}[/tex] и получим

[tex]x^{2} +(y-1)^{2} +(z-3)^{2}=20[/tex]     (1)

Если ABCD - трапеция, то основания параллельны, то есть BC║AD.

Если рассмотреть векторы   [tex]\vec{BC}[/tex]и  [tex]\vec{AD}[/tex], то они будут коллинеарны.

Из условия коллинеарности векторов следует, что соответствующие координаты пропорциональны.

Чтобы найти координаты вектора, надо от координат конца вычесть соответствующую координату начала вектора.

[tex]\vec{BC}(-4; 3;2);\\\vec{AD}(x;y+2;z-3)[/tex]

Составим пропорцию

[tex]\dfrac{x}{-4} =\dfrac{y+2}{3} =\dfrac{z-3}{2}[/tex]

Выразим переменные x  и z -3

[tex]x=\dfrac{-4y-8}{3} ;\\\\z-3=\dfrac{2y+4}{3}[/tex]

Подставим найденные значения в уравнение (1)

[tex]\left(\dfrac{-4y-8}{3}\right )^{2} +(y-1)^{2} +\left(\dfrac{2y+4}{3}\right )^{2} =20;\\\\\dfrac{16y^{2}+64y+64 }{9} +y^{2} -2y+1+\dfrac{4y^{2}+16y+16 }{9} =20|\cdot9;\\\\16y^{2}+64y+64+9y^{2} -18y+9+4y^{2}+16y+16 =180;\\29y^{2} +62y-91=0;\\\dfrac{D}{4} =31^{2} -29\cdot(-91)=3600=60^{2} ;\\\\y{_1}= \dfrac{-31-60}{29} =-\dfrac{91}{29} ;\\\\y{_2}= \dfrac{-31+60}{29} =\dfrac{29}{29}=1[/tex]

Если y=1, то

[tex]x=\dfrac{-4\cdot 1-8}{3} =\dfrac{-12}{3} =-4;\\\\z=3+\dfrac{2\cdot1+4}{3} =3+\dfrac{6}{3} =3+2=5[/tex]

Тогда точка D  может иметь  координаты D( - 4; 1; 5)

Если [tex]y=-\dfrac{91}{29}[/tex], то

[tex]x=\dfrac{-4\cdot\left (-\dfrac{91}{29}\right) -8}{3} =\dfrac{4\cdot91-8\cdot29}{29\cdot3} =\dfrac{364-232}{87}=\dfrac{132}{87} =\dfrac{44}{29} ;[/tex]

[tex]z=3+ \dfrac{2\cdot\left (-\dfrac{91}{29}\right)+4 }{3} =3+\dfrac{-2\cdot 91+4\cdot29}{3\cdot29} =3+\dfrac{-182+116}{87} = 3+\dfrac{-66}{87} =\\\\=3-\dfrac{22}{29} =\dfrac{3\cdot29-22}{29} =\dfrac{65}{29} .[/tex]

Значит,

[tex]x=\dfrac{44}{29}=1\dfrac{15}{29} ;\\\\y=-\dfrac{91}{29} =-3\dfrac{4}{29} ;\\\\z=\dfrac{65}{29}=2\dfrac{7}{29}[/tex]

И точка  D  может иметь координаты

[tex]D\left( 1\dfrac{15}{29} ;-3\dfrac{4}{29} ;2\dfrac{7}{29} \right)[/tex]

Проверим, какая из точек будет вершиной трапеции. Если трапеция равнобокая, то диагонали трапеции равны, то есть АС = BD.

[tex]AC=\sqrt{(0-0)^{2} +(1+2)^{2} +(3-3)^{2} } =\sqrt{0+9+0} =\sqrt{9} =3[/tex]

1) Если D( - 4; 1; 5) , то

[tex]BD= \sqrt{(-4-4)^{2}+(1+2)^{2}+(5-1)^{2} } =\sqrt{64+9+16} =\sqrt{89}[/tex]

Тогда [tex]AC\neq BD[/tex] и точка D не может иметь эти координаты.

2) Если [tex]D\left( 1\dfrac{15}{29} ;-3\dfrac{4}{29} ;2\dfrac{7}{29} \right)[/tex], то

[tex]BD= \sqrt{\left(\dfrac{44}{29} -4\right)^{2}+\left(-\dfrac{91}{29}+2\right)^{2} +\left(\dfrac{65}{29} -1\right)^{2} } =\sqrt{\dfrac{5184}{29^{2} } +\dfrac{1089}{29^{2} }+\dfrac{1296}{29^{2} }} =\\\\=\sqrt{\dfrac{7569}{29^{2} } } =\dfrac{87}{29} =3.[/tex]

В этом случае диагонали равны и точка  D  имеет координаты

[tex]D\left( 1\dfrac{15}{29} ;-3\dfrac{4}{29} ;2\dfrac{7}{29} \right)[/tex]

#SPJ1