Ответ:

Оскільки бісектриса кута розбиває його на два рівні кути, то кути ANK та BKN є рівними. Оскільки кут BKN є бісектрисою кута B, то кути ABK та KBN також є рівними. Аналогічно, кути AKN та KAN є рівними.

Позначимо сторону трапеції AD як a, а сторону BC як b. Оскільки AD і BC є паралельними, то ANKB - також трапеція.

Позначимо довжини відрізків AK і BN як c1 і c2 відповідно. Оскільки ANKB - трапеція, то c1 + c2 = AB = 5 см.

За теоремою бісектрис в трикутнику ANK, маємо:

c1/a = c2/b

або

c1b = c2a

Оскільки ANKB - трапеція, то з попереднього рівняння маємо:

(a + b) c1 = ac2 + bc2

Також, оскільки кути ABK та KBN є рівними, то в трикутнику ABK і трикутнику KBN відповідні сторони пропорційні. Зокрема, маємо:

AB/KB = AN/BN

або

5/(b-c1) = a/c2

або

c2 = (5b)/(a + b - c1)

Отже, можемо знайти c1 за формулою:

c1 = (ac2 + bc2)/(a + b)

Підставляючи значення c2, отримаємо:

c1 = (a*(5b)/(a + b - c1) + b*(5b)/(a + b - c1))/(a + b)

Зведемо дріб до спільного знаменника:

c1 = (5ab)/(2ab - ac1 - bc1 + 5b)

Розв'язуючи це рівняння відносно c1, маємо:

2c1ab - ac1^2 - bc1^2 + 5bc1 = 5ab

Оскільки АВ=5см, то периметр чотирикутника ABNK буде:

P = AB + AK + BN + KN = 5 + c1 + c2 + c1 = 5 + 2c1 + c2

Підставляючи значення c1 і c2, отримаємо:

P = 5 + (10ab)/(2ab - ac1 - bc1 + 5