В трапеции ABCD меньшее основание BC равно 5, а диагональ BD равна 16. Биссектриса угла CBD пересекает диагональ AC в точке K такой, что CK:AK=1:6. Найдите длину основания AD.
В трапеции ABCD меньшее основание BC равно 5, а диагональ BD равна 16. Биссектриса угла CBD пересекает диагональ AC в точке K такой, что CK:AK=1:6. Найдите длину основания AD.
Дано: ABCD - трапеция;
ВС = 5; BD = 16;
ВМ - биссектриса ∠CBD;
BM ∩ AC = K; CK : AK = 1 : 6;
Найти: AD
Решение:
Проведем ЕК || ВС.
1. CK : AK = 1 : 6 ⇒ СК : СА = 1 : 7
2. Рассмотрим ΔDBC
BM - биссектриса.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
⇒ МС : МD = СВ : BD = 5 : 16
Пусть МС = 5х, тогда МК = 16х, а СD = 21x.
3. Рассмотрим ∠ACD.
КЕ || AD (построение)
Если на одной стороне отложить отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне угла отложатся отрезки, пропорциональные данным.
Обозначим AK = 6x , а EK = w ⇒ AE = 6x -w , также пусть BE = z ⇒ ED = 16 - z
Рассмотрим ΔBCD , поскольку биссектриса BF делит его противоположную сторону на два отрезка, длины которых пропорциональны соответствующим прилежащим сторонам треугольника ⇒
Answers & Comments
Ответ:
Длина основания AD равна 14 ед.
Объяснение:
В трапеции ABCD меньшее основание BC равно 5, а диагональ BD равна 16. Биссектриса угла CBD пересекает диагональ AC в точке K такой, что CK:AK=1:6. Найдите длину основания AD.
Дано: ABCD - трапеция;
ВС = 5; BD = 16;
ВМ - биссектриса ∠CBD;
BM ∩ AC = K; CK : AK = 1 : 6;
Найти: AD
Решение:
Проведем ЕК || ВС.
1. CK : AK = 1 : 6 ⇒ СК : СА = 1 : 7
2. Рассмотрим ΔDBC
BM - биссектриса.
⇒ МС : МD = СВ : BD = 5 : 16
Пусть МС = 5х, тогда МК = 16х, а СD = 21x.
3. Рассмотрим ∠ACD.
КЕ || AD (построение)
⇒ СЕ : ED = CK : KA = 1 : 6
или СЕ : СD = 1 : 7
[tex]\displaystyle \frac{CE}{21x}=\frac{1}{7}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf CE=\frac{21x}{7}=3x[/tex]
4. Рассмотрим ΔКЕМ и ΔВСМ.
КЕ || ВС (построение)
⇒ ΔКЕМ ~ ΔВСМ.
MC = 5x; ME = MC - CE = 5x - 3x = 2x.
Запишем отношения сходственных сторон:
[tex]\displaystyle \frac{ME}{MC}=\frac{EK}{CB} \\\\\frac{2x}{5x}=\frac{EK}{5}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf EK=\frac{2x\cdot5}{5x}=2[/tex]
5. Рассмотрим ΔКСЕ и ΔACD.
KE || AD
⇒ ΔКСЕ ~ ΔACD
Запишем отношения сходственных сторон:
[tex]\displaystyle \frac{CK}{CA}=\frac{KE}{AD} \\\\\frac{1}{7}=\frac{2}{AD}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf AD=14[/tex]
Длина основания AD равна 14 ед.
#SPJ1
Ответ: Длина основания AD = 14 (ед)
Объяснение:
Обозначим AK = 6x , а EK = w ⇒ AE = 6x -w , также пусть BE = z ⇒
ED = 16 - z
Рассмотрим ΔBCD , поскольку биссектриса BF делит его противоположную сторону на два отрезка, длины которых пропорциональны соответствующим прилежащим сторонам треугольника ⇒
[tex]\dfrac{CF}{DF} =\dfrac{BD}{BC}= \dfrac{5}{16} \Rightarrow \\\\ DF = 16y ~ , ~ CF = 5y[/tex]
Теперь на этом же Δ-ке , применяем теорему Менелая , начиная со стороны BE
[tex]\displaystyle \frac{BE}{BD} \cdot \frac{DF}{CF} \cdot \frac{CK}{KE} = 1 \\\\\\\ \frac{z}{16}\cdot \frac{16y}{5y} \cdot \frac{x}{w} = 1 \\\\\\ \frac{xz}{5w}= 1 \\\\\\ \boxed{xz = 5 w}[/tex]
Поскольку нам дана трапеция , то треугольники ABE и DEC имеют равную площадь , и т.к ∠BEA = ∠ CEA как вертикальные
Тогда По формуле [tex]S_{\triangle } =\dfrac{1}{2}ab \cdot \sin \alpha[/tex]
[tex]\displaystyle S_{\triangle ABE} =S_{\triangle DEC} \\\\ \frac{1}{2}\cdot BE \cdot AE \cdot \sin \angle BEA= \frac{1}{2}\cdot CE \cdot ED \cdot \sin \angle CEA \\\\\\ BE \cdot AE \cdot \sin \angle CEA=CE \cdot ED \cdot \sin \angle CEA \\\\ BE \cdot AE = ED\cdot EC \\\\ z \cdot (6x - w)= (16-z)(x + w) \\\\ 6xz - zw = 16x - xz + 16 w - zw \\\\ 7xz = 16 w + 16x[/tex]
Подставим xz = 5w
7·5w = 16w + 16x
35w = 16w + 16x
19w = 16x
[tex]\boxed{w = \dfrac{16}{19}x}[/tex]
То что мы вывели подставим в xz = 5w
[tex]xz =5\cdot \dfrac{16}{19}x \\\\\\ \boxed{z = \dfrac{80}{19} }[/tex]
[tex]\Rightarrow ED = 16-z = 16 - \dfrac{80}{19}= \dfrac{224}{19}[/tex]
В силу того , что BC ║ AD , диагонали BD и AC будут отсекать два подобных треугольника ΔBEC ≅ ΔAED
∠EAD = ∠ECB и ∠CBE = ∠EDA как соответственные углы
⇒ по свойству подобия :
[tex]\displaystyle \dfrac{5}{z} = \dfrac{AD}{16 -z} \\\\\\ \dfrac{5}{\dfrac{80}{19} } = \frac{AD}{\dfrac{224}{19} } \\\\\\\ 80AD = 224\cdot 5 \\\\ 80AD = 1120 \\\\ \boxed{AD = 14}[/tex]
#SPJ1