Ответ:

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около

треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,

если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,

если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,

если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,

если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,

если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,

если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,

если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,

если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,

если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,

если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,

если известны две стороны и синус угла между ними:

\[ S = \frac<1><2>ab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,

если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,

если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,

если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,

если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в

окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного

в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,

если известныдве стороны, ни одна из них не является

основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,

если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,

если известен сторона и синус угла прилежащего

к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

\[ h = b \cdot \sin \alpha \]

Высота треугольника вписанного в окружность,

если известен радиус описанной окружности и

две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности

находится на пересечении биссектрис.

В треугольник, вписанный в окружность,

можно вписать окружность, причем только одну.

Для треугольника, вписанного в окружность,

справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов

и Теорема Пифагора.

Центр описанной около треугольника окружности

находится на пересечении серединных перпендикуляров.

Все вершины треугольника, вписанного

в окружность, лежат на окружности.

Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.

Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и

треугольника, в который вписана окружность, можно найти по

формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно

описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,

которые изображены на рисунке 2.

окружность описана

около треугольника.

Проведем серединные

перпендикуляры — HO, FO, EO.

O — точка пересечения серединных

перпендикуляров равноудалена от

всех вершин треугольника.

Центр окружности — точка пересечения

серединных перпендикуляров — около

треугольника описана окружность — O,

от центра окружности к вершинам можно

провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,

что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,

вписанный в окружность — это треугольник,

в котором все серединные перпендикуляры

пересекаются в одной точке, и эта точка

равноудалена от всех вершин треугольника

Объяснение: