Verified answer

Ответ:

функция имеет две стационарные точки х₁ = 6;    х₂ = (-6).

на интервале [0;  +∞) функция имеет наибольшее значение

[tex]\displaystyle \boldsymbol {y(6)} = \boldsymbol { \frac{1}{12}}[/tex]

Объяснение:

Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.

Необходимое условие экстремума функции y(x)

y'(x)  = 0

Найдем y'(x)

Используем формулу

[tex]\displaystyle y'(\frac{u}{v} ) =\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

В нашем случае

[tex]\displaystyle y'(x) = \bigg(\frac{x}{36+x^2} \bigg)'=\frac{x'(36+x^2)-x(36+x^2)'}{(36+x^2)^2} =\frac{36+x^2-x*2x}{(36+x^2)^2} =\frac{36-x^2}{(36+x^2)^2 }[/tex]

Приравняем ее к нулю.

Поскольку знаменатель этой дроби никогда не равен 0, то приравняем к нулю числитель

36 - x² = 0

x² = 36      ⇒  х₁ = 6;    х₂ = (-6)

Заданная функция имеет две стационарные точки  х₁ = 6;    х₂ = (-6).

В наш заданный интервал [0; +∞) попадает только одна стационарная точка х₁ = 6

[tex]\displaystyle \boldsymbol {y(6)} = \frac{6}{36+6^2} =\frac{6}{72} = \boldsymbol { \frac{1}{12}}[/tex]

• Если в окрестности стационарной точки у'(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

Рассмотрим, как ведет себя производная в окрестности точки

х₁ = 6. Знаменатель производной всегда > 0, поэтому рассмотрим только числители.

Возьмем две точки хₐ₁ = 5 и хₐ₂ = 7

[tex]\displaystyle y'(7) = \frac{36-25}{(36+5^2)^2} \qquad y'(5) > 0\\\\\\ y'(5) = \frac{36-49}{(36+5^2)^2} \qquad y'(5) < 0\\[/tex]

Таким образом, в  окрестности точки x₁ = 6 производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка x = 6 - точка максимума