Verified answer

Ответ:

Первый замечательный предел:   [tex]\bf \lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{sinx}{x}=1[/tex]   .

[tex]\bf a)\ \ \lim\limits_{x \to 1}\ \dfrac{sin(x-1)}{2x-2}=\lim\limits_{x \to 0}\Big(\ \dfrac{sin(x-1)}{x-1}\cdot \dfrac{1}{2}\Big)=\Big[\ x\to 1\ \ \Rightarrow \ \ (x-1)\to 0\ \Big]=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \lim\limits_{x \to 1}\ \dfrac{sin(x-1)}{x-1}=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}[/tex]  

[tex]\bf b)\ \ \lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{sinx}{x-\pi }=\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{sin(\pi -x)}{x-\pi }=\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{sin(\pi -x)}{-(\pi -x)}=\\\\\\=-\lim\limits_{x \to \pi }\ \dfrac{sin(\pi -x)}{\pi -x}=-1[/tex]  

[tex]\bf c)\ \ \lim\limits_{x \to 1}\ \dfrac{sin(x-1)}{x^2+2x-3}=\lim\limits_{x \to 1}\ \dfrac{sin(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\lim\limits_{x \to 1}\Big(\ \dfrac{sin(x-1)}{x-1}\cdot \dfrac{1}{x+3}\Big)=\\\\\\=1\cdot \lim\limits_{x \to 1}\ \dfrac{1}{x+3}=1\cdot \dfrac{1}{1+3}=\dfrac{1}{4}[/tex]  

Первый замечательный предел:

[tex]\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} =1[/tex]

Свойство предела: Предел произведения равен произведению пределов:

[tex]\lim\limits_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to a}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to a}g(x)[/tex]

a)

[tex]\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sin(x-1)}{2x-2} =\dfrac{\sin(1-1)}{2\cdot1-2} =\left[\dfrac{0}{0} \right][/tex]

Поскольку возникла неопределенность 0/0, то выполним такие преобразования, чтобы была возможность воспользоваться первым замечательным пределом:

[tex]\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sin(x-1)}{2x-2} =\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sin(x-1)}{2(x-1)} =\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{\sin(x-1)}{(x-1)} \right)=[/tex]

[tex]=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{1}{2} \cdot\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sin(x-1)}{(x-1)} =\left < \begin{array}{c}x-1=t\\x\to1&\ \Rightarrow t\to 0\end{array} \right > =\dfrac{1}{2} \cdot\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t} =\dfrac{1}{2} \cdot1=\dfrac{1}{2}[/tex]

b)

[tex]\lim\limits_{x\to\pi }\dfrac{\sin x}{x-\pi } =\dfrac{\sin\pi }{\pi -\pi } =\left[\dfrac{0}{0} \right][/tex]

Выполним преобразования: воспользуемся формулой приведения:

[tex]\lim\limits_{x\to\pi }\dfrac{\sin x}{x-\pi } =\lim\limits_{x\to\pi }\dfrac{\sin(\pi -x)}{x-\pi } =\lim\limits_{x\to\pi }\dfrac{-\sin(x-\pi)}{x-\pi } =-\lim\limits_{x\to\pi }\dfrac{\sin(x-\pi)}{x-\pi } =[/tex]

[tex]=\left < \begin{array}{c}x-\pi =t \\ x\to\pi \\ \Rightarrow t\to 0\end{array}\right > =-\lim\limits_{t\to0 }\dfrac{\sin t}{t} =-1[/tex]

с)

[tex]\lim\limits_{x\to1 }\dfrac{\sin (x-1)}{x^2+2x-3 } =\dfrac{\sin(1-1) }{1^2+2\cdot1-3} =\left[\dfrac{0}{0} \right][/tex]

Выполним преобразования: разложим знаменатель на множители:

[tex]\lim\limits_{x\to1 }\dfrac{\sin (x-1)}{x^2+2x-3 } =\lim\limits_{x\to1 }\dfrac{\sin (x-1)}{(x+3)(x-1) } =\lim\limits_{x\to1 }\left(\dfrac{1}{x+3 } \cdot \dfrac{\sin (x-1)}{x-1 } \right)=[/tex]

[tex]=\lim\limits_{x\to1 }\dfrac{1}{x+3 } \cdot \lim\limits_{x\to1 }\dfrac{\sin (x-1)}{x-1 } = \left < \begin{array}{c}x-1=t\\x\to1\\ \Rightarrow t\to0\end{array}\right > =\dfrac{1}{1+3 } \cdot \lim\limits_{t\to0 }\dfrac{\sin t}{t } = \dfrac{1}{4} \cdot 1=\dfrac{1}{4}[/tex]

Ответ: a) 1/2; b) -1; c)1/4