Ахиллес и Черепаха бегали вокруг стадиона весьма необычным способом. Одновременно стартовав в одном направлении, Ахиллес всякий раз менял направление бега на противоположное, как только встречался с Черепахой. Известно, что за то время, пока Черепаха совершила ровно 1 круг, Ахиллес успел всего 2 раза встретиться с Черепахой, и одновременно с ней прибежал к стартовой позиции. Во сколько раз Ахиллес быстрее черепахи? Ответ округлите до сотых.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Нам надо найти отношение w/v.
Первый раз Ахиллес догнал Черепаху, когда она прошла x м.
Ахиллес к этому моменту пробежал полный круг и еще x м, всего S+x м.
t1 = x/v = (S+x)/w
После встречи Ахиллес развернулся и побежал обратно. В момент второй встречи Черепаха оказалась в точке y м, то есть она прошла y-x м.
Ахиллес пробежал x м обратно до старта и еще S-y м до встречи.
Всего он пробежал S+x-y м.
t2 = (y-x)/v = (S+x-y)/w
Третий раз Черепаха закончила круг, S м. То есть прошла S-y м. Ахиллес развернулся и побежал туда же, что и Черепаха, причем обогнал ее со старта. Он пробежал S-y м до старта и еще круг, S м. Всего 2S-y м.
t3 = (S-y)/v = (2S-y)/w
Выразим w/v из всех трех уравнений
{ w/v = (S+x)/x
{ w/v = (S+x-y)/(y-x)
{ w/v = (2S-y)/(S-y)
Приравняем правые части этих уравнений
{ (S+x)/x = (S+x-y)/(y-x)
{ (S+x)/x = (2S-y)/(S-y)
Решаем пропорции
{ (y-x)(S+x) = x(S+x-y)
{ (S+x)(S-y) = x(2S-y)
Раскрываем скобки
{ Sy - Sx + xy - x^2 = Sx + x^2 - xy
{ S^2 + Sx - Sy - xy = 2Sx - xy
Приводим подобные
{ Sy - 2Sx = 2x^2 - 2xy
{ S^2 = Sx + Sy
Из 2 уравнения S = x + y. Подставляем в 1 уравнение
S(y - 2x) = 2x^2 - 2xy
(x + y)(y - 2x) = 2x^2 - 2xy
xy + y^2 - 2x^2 - 2xy = 2x^2 - 2xy
4x^2 - xy - y^2 = 0
Делим все на y^2
4(x/y)^2 - (x/y) - 1 = 0
D = 1 - 4*4*(-1) = 17
(x/y)1 = (1 - √17)/8 ≈ -0,39 - не может быть, x и y разных знаков.
(x/y)2 = (1 + √17)/8 ≈ 0,64 - подходит
x = y*(1+√17)/8; S = x + y = y*(1+√17)/8 + y = y*(9+√17)/8
Отношение скоростей Ахиллеса и Черепахи:
w/v = (S + x)/x = S/x + 1 = [y(9+√17)/8] : [y(1+√17)/8] + 1 =
= (9+√17)/(1+√17) + 1 = (9+√17)(√17-1)/(17-1) + 1 = (9√17+17-9-√17)/16 + 1 =
= (8√17+8)/16 + 1 = (1+√17)/2 + 1 = (1 + √17 + 2)/2 = (3+√17)/2 ≈ 3,56