[tex]ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha } =5[/tex]. Відомо, що [tex]tg\alpha \cdot ctg\alpha =1[/tex]. Звідси маємо, що [tex]tg\alpha =\frac{1}{ctg\alpha } =\frac{1}{5}[/tex]. Крім того, відомо, що [tex]1+ctg^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }[/tex] ⇒ [tex]sin^2\alpha =\frac{1}{1+ctg^2\alpha }=\frac{1}{1+5^2} =\frac{1}{26}[/tex] ⇒ [tex]sin\alpha =\pm \frac{1}{ \sqrt{26} }[/tex]. Відомо, що [tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex]. Звідси маємо, що [tex]cos^2\alpha =1-sin^2\alpha =1-\frac{1}{26}=\frac{25}{26}[/tex] ⇒ [tex]cos\alpha =\pm \frac{\sqrt{25} }{\sqrt{26} }=\pm\frac{5}{\sqrt{26} }[/tex].
Answers & Comments
Відповідь:
#1
[tex]sin\alpha =\pm \frac{1}{ \sqrt{26} }[/tex]
[tex]cos\alpha =\pm\frac{5}{\sqrt{26} }[/tex]
[tex]tg\alpha =\frac{1}{5}[/tex]
#2
1) [tex]sin\alpha[/tex]
2) 1
Пояснення:
#1
[tex]ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha } =5[/tex]. Відомо, що [tex]tg\alpha \cdot ctg\alpha =1[/tex]. Звідси маємо, що [tex]tg\alpha =\frac{1}{ctg\alpha } =\frac{1}{5}[/tex]. Крім того, відомо, що [tex]1+ctg^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }[/tex] ⇒ [tex]sin^2\alpha =\frac{1}{1+ctg^2\alpha }=\frac{1}{1+5^2} =\frac{1}{26}[/tex] ⇒ [tex]sin\alpha =\pm \frac{1}{ \sqrt{26} }[/tex]. Відомо, що [tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex]. Звідси маємо, що [tex]cos^2\alpha =1-sin^2\alpha =1-\frac{1}{26}=\frac{25}{26}[/tex] ⇒ [tex]cos\alpha =\pm \frac{\sqrt{25} }{\sqrt{26} }=\pm\frac{5}{\sqrt{26} }[/tex].
#2
[tex]\frac{1}{sin\alpha } -cos\alpha ctg\alpha =\frac{1}{sin\alpha }-cos\alpha \frac{cos\alpha }{sin\alpha } =\frac{1}{sin\alpha }- \frac{cos^2\alpha }{sin\alpha } =\frac{1-cos^2\alpha }{sin\alpha } =\frac{sin^2\alpha }{sin\alpha } =sin\alpha[/tex]
[tex]\frac{tg\alpha \cdot ctg\alpha }{cos^2\alpha } -tg^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha } -\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha } =\frac{1-sin^2\alpha }{cos^2\alpha } =\frac{cos^2\alpha }{cos^2\alpha } =1[/tex]