Ответ:

Получили решение неравенства:

[tex]\displaystyle x\in[-1;\;0)\cup(0;\;\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\;1][/tex]

Объяснение:

Требуется решить неравенство.

[tex]\displaystyle log_{2^{|2x-1|}}(2^{2x+1}-2^{x+2}+2)\leq \frac{x}{|2x-1|}[/tex]

Свойство логарифма:

[tex]\displaystyle \boxed {log_{a^n}b=\frac{1}{n}\;log_ab }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{|2x-1|} log_{2}(2^{2x+1}-2^{x+2}+2)\leq \frac{x}{|2x-1|}[/tex]

ОДЗ:

1) На ноль делить нельзя.

|2x - 1| ≠ 0

[tex]\displaystyle \boxed { x\neq \frac{1}{2} }[/tex]

2) Число логарифма положительно.

[tex]\displaystyle 2^{2x+1}-2^{x+2}+2 > 0[/tex]

• Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей: [tex]$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$[/tex]

[tex]\displaystyle 2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x+2 > 0[/tex]

Выполним замену переменной и найдем корни уравнения:

[tex]\displaystyle 2^x=y,\;\;\;y > 0\\\\2y^2-4y+2 > 0\;\;\;\;\;|:2\\\\y^2-2y+1 > 0\\\\(y-1)^2 > 0[/tex]

Выражение в скобках может принимать любое значение, кроме 0.

у - 1 ≠ 0

y ≠ 1

Обратная замена:

[tex]\displaystyle 2^x\neq 1\\\\\boxed {x\neq 0}[/tex]

[tex]\displaystyle \Rightarrow \; (-\infty;\;0)\cup(0;\;\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\;+\infty)[/tex]

Перенесем все в левую часть, поменяв знак на противоположный, и подведем под общий знаменатель:

[tex]\displaystyle \frac{log_2(2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x+2)-x}{|2x-1|} \leq 0[/tex]

Знаменатель у нас положительный, значит числитель может быть только меньше или равным нулю:

[tex]\displaystyle log_2(2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x+2)-x\leq 0\\\\log_2(2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x+2)\leq x\\\\log_2(2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x+2)\leq log_22^x\\\\2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x+2\leq 2^x\\\\2\cdot2^{2x}-4\cdot2^x+2- 2^x\leq 0\\\\2\cdot2^{2x}-5\cdot2^x+2\leq 0[/tex]

Выполним замену переменной:

[tex]\displaystyle 2^x=t\\\\2t^2-5t+2\leq 0[/tex]

Найдем корни и решим методом интервалов:

[tex]\displaystyle t_{1,2}=\frac{5\;\pm\;\sqrt{25-16} }{4} =\frac{5\;\pm\;3}{4} \\\\t_1=2;\;\;\;\;\;t_2=\frac{1}{2} \\\\+++++[\frac{1}{2} ]-----[2]+++++\\\\\frac{1}{2}\leq t\leq 2[/tex]

Выполним обратную замену:

[tex]\displaystyle \frac{1}{2}\leq 2^x\leq 2\\ \\2^{-1}\leq 2^x\leq 2^1\\\\-1\leq x\leq 1[/tex]

Учитывая ОДЗ, получим ответ:

[tex]\displaystyle x\in[-1;\;0)\cup(0;\;\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\;1][/tex]