Ответ:  n1=4;  n2=9.

Объяснение:

a4=9;  a9= -6;  Sn=54.  Найти  n.

----------------

an=a1+(n-1)d.

Sn=n(a1+an)/2;

------------------

a4 = a1+3d;   a1+3d = 9;                  (1)

a9=a1+8d;   a1+8d = -6;                  (2)  

Из (2) вычитаем (1):

8d-3d = -6-9;

5d = -15;

d= -3.

------------

Подставим в (1):

a1+3*(-3) = 9;

a1-9=9;

a1=18.

-----------------------

54=n(18+an)/2;

an=18+(n-1)(-3);

an=18-3n+3;

an=-3n+21;

------------

n(18-3n+21)=108;

18n-3n²+21n-108=0;

-3n²+39n -108=0;        [:(-3)]

n²-13n+36=0;

По т.Виета:

n1+n2=12;  n1*n2=36;

n1=4;  n2=9.

------------------

a4=18+3(-3) = 18-9 = 9;

S4=4(18+9)/2 = 4*27/2 =54!!!

-------------

Проверим верность решения:

a9 = 18+8(-3)=18 -24 = -6;

S9 = 9(18+(-6))/2 = 9*12/2 =54!!!

Всё верно!!!