Число N равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). Если ка...

July 2022 1 5 Report

Число N равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). Если каждый множитель в этом представлении увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на N . Сколько таких натуральных N существует? (Решение!)

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Запишем условие $><br />где <img src=$ - простые числа
По условия $\frac{N_{1}}{N} \in C$ целое .
Если все числа $x_{1};x_{2}...$ будут действительно различные, то из выражения
$\frac{N_{1}}{N}= (1+\frac{1}{x_{1}})(1+\frac{1}{x_{2}})(1+\frac{1}{x_{3}})*...(1+\frac{1}{x_{200}})$ с учетом того что данные числа простые, как минимум среди них будет множитель $2^{200}$ ,потому что $x_{1}+1;x_{2}+1...;x_{200}+1$ уже четные числа. Запишем как $2^{200}*(\frac{a_{1}}{x_{1}})*(\frac{a_{2}}{x_{2}})*(\frac{a_{3}}{x_{3}})*...* (\frac{a_{200}}{x_{200}})$ так как $a_{n}$
То следует что, числа в каждой дроби будут взаимно простые между собой.
То есть не дадут целое числа в итоге, теперь рассмотрим случаи когда числа равные между собой, то есть предположим что среди них есть числа равные между собой .
для начало положим что $N=2^a*3^b*5^c$
$a+b+c=200$
откуда получаем , после преобразований
$3^{200-2b}*2^{b-2a+200}*5^{a+b-200}$
так как числа все простые , то есть не одно число не делится на другой без остатка , то
$200-2b>0\\
b-2a+200>0\\
a+b-200>0$
откуда с последнего неравенства, решения будут при целых $a+b=201$ то есть все числа должны давать в сумме $201$ , но тогда $c$ что не противоречит условию
Теперь увеличим наше число до $4$ простых числа
$2^a*3^b*5^c*13^d\\
a+b+c+d=200\\

$
так же после всех преобразований получаем
$c0\\a-b+c>0\\-a-b-c+200>0\\a+b+c-200>0$
но отсюда так же следует что $a+b+c>200$ что противоречит $d>0$
И теперь очевидно для $n$ взятого простого числа так же будет справедлива это тождество.

Теперь рассмотрим случай $N=2^a*3^b\\
N_{1}=3^a*2^{2b}\\
\frac{N_{1}}{N} = \frac{3^a*2^{2b}}{2^a*3^b} = 3^{a-b}*2^{2b-a}\\
a+b=200\\
3^{200-2b}*2^{3b-200}\\
200-2b>0\\
3b-200>0\\\\
b\frac{200}{3}$
откуда $[ \frac{200}{3} ]= 66\\
100-66=33$ решения
Ответ $33$

И это все является решением для 6-классника, так как использованы обычные работы со степенями и неравенствами

3 votes Thanks 3

mathgenius Ахахаха я так и думал что то в этой задаче не так

mathgenius Я думаю что стоит посмеяться. А заодно проверить достоверность решения матова. Я просто не пойму некоторые его переходы

mathgenius Я до сих пор не понял про какой анализ частного тут идет речь

mathgenius У меня есть серьезные подозрения ,что авторы составили ее думая что это правильно . И задали ее. А через некоторое время поняли, что их обоснование было не полным. И теперь якобы отговариваютcя. Потому что за это время не придумали ничего другого :). Я не знаю мнимое ли решение у матова или не мнимое,но возможно, что обоснования этого факта не существует вовсе :) И если у Матова все верно. Это круто и более чем.

fishfaer Судя по тому что я видела на разборе решение Матова верное.
А вот на счёт того что составители в некоторых задачах напортачили это точно к сожалению. Была даже такая задача в которой было задано условие на столько витиевато что решить её можно было только зная то что знали сами составители об этой задаче. Решение её было действительно очень простым, вот только прийти к нему с данным условием было не реально практически.

mathgenius В таком случае я ее видно тоже решил верно чуть иначе чtм матов. Но не был уверен что правильно.

fishfaer Я так подозреваю что в связи с тем что в этих задачах не требовалось показать само решение, а только дать ответ, самим составителям было совершенно всё равно правильно ли это решение или нет, главное чтоб ответ совпал.

mathgenius На интуитивном та уровне сразу было ясно. Вопрос стоял как это доказать

mathgenius Если не нужно было решение, то задача в принципе и кусочка хлеба не стоит

fishfaer Им то решение было не нужно, а мне самой хотелось понять.

Answers & Comments

Verified answer

nuzhno perevesti tekst i podobrat podhodyashij k fotografiyam

vstavte slova po smyslu i perevedite tekst

perevedite pozhalujsta tekst pisma

pomogite perevesti chast b na verhnej chasti kartinki pod ciframi 1 7

izvestno chto h120a b y120b c i z120c a tri posledovatelnyh natu

esli koloda kartochek pronumerovannyh ot 1 do2008 etu kolodu peremeshali i teper

v kazhduyu kletku tablicy 8h8 stavyat 0 ili 1skolkimi sposobami eto mozhno sdelat

najdite summu vseh naturalnyh n takih chto n bolshe ili ravno 1000 i nok128n

ch peshkom nuzhno samo reshenie skoree vsego kazhdyj iz malchikov dolzhen projti

pomogite reshit zadachku a glavnoe pravilno zapisat dano nu i reshenie tozhe h

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social