Сначала определим, как выглядят все делители заданного числа. Для этого стоит разложить его на простые множители:
Из этого разложения заключаем, что все делители имеют вид: , где ,
По условию это число имеет 42 натуральных делителя. 1)Пусть сначала , то есть, каждый из 42 делителей есть степень двойки. Очевидно, что эти делители располагаются лишь в порядке возрастания степеней двойки "без пропусков"(иначе получится число, имеющее более 42 делителей), поэтому (между 0 и 41 располагается ровно 42 натуральных числа). А чтобы всех таких делителей вида было ровно столько, необходимо, чтобы
Если ,то таких делителей меньше 42, если , то больше. Итак, , откуда - не натуральное число. Поэтому делаем вывод: среди делителей данного числа не могут содержаться только лишь степени двойки.
2)Повторим рассуждения для степеней тройки. Пусть для всех делителей. Тогда они имеют вид В силу рассуждений предыдущего пункта,, откуда - натуральное число. Этот случай вполне нас может устраивать, но здесь обязательна проверка - подстановка n в запись числа и прикидка количества делителей. Подставляя, имеем число:
Но мы видим, что число имеет 220 делителей, только лишь являющихся степенями двойки, не говоря про остальные делители(то есть, их не 42 явно). Поэтому условию задачи не удовлетворяет.
3)Пусть теперь имеем среди делителей и делители "смешанной" породы.
Как найти нам теперь n? Пусть у нас есть какое-либо число вида . Какова структура делителей данного числа? Их три вида: а)Вида . Очевидно, что , а потому всего их ; б)Вида . Ясно, что , а всего их n-3+1 = n-2 Плюс ко всему замечаем, что два раза получается в делителе 1. Так что один лишний делитель я выбрасываю. О чём это всё говорит? О том, что "чистых" делителей в точности (убираем 1 отсюда)
в)Смешанные делители вида . Сколько их? Здесь уже практически чистая комбинаторика. Подсчитываем общее допустимое число делителей. На каждую из степеней числа 2(всего их , но 0 не включается, а потому только 5n) можно поставить одну из степеней числа 3(всего их , но 0 не включаем, а потому n-3). Соответственно, получаем их комбинаций.
Всего делителей 42, так что - не натуральное и даже не целое число.
Таким образом, . Произведём проверку:
- действительно, число имеет 42 натуральных делителя(40 - отличных от 1 и самого числа, и 2 особых делителя - само число и 1).
Answers & Comments
Verified answer
Сначала определим, как выглядят все делители заданного числа. Для этого стоит разложить его на простые множители:Из этого разложения заключаем, что все делители имеют вид: , где ,
По условию это число имеет 42 натуральных делителя.
1)Пусть сначала , то есть, каждый из 42 делителей есть степень двойки. Очевидно, что эти делители располагаются лишь в порядке возрастания степеней двойки "без пропусков"(иначе получится число, имеющее более 42 делителей), поэтому (между 0 и 41 располагается ровно 42 натуральных числа). А чтобы всех таких делителей вида было ровно столько, необходимо, чтобы
Если ,то таких делителей меньше 42, если , то больше.
Итак, , откуда - не натуральное число. Поэтому делаем вывод: среди делителей данного числа не могут содержаться только лишь степени двойки.
2)Повторим рассуждения для степеней тройки.
Пусть для всех делителей. Тогда они имеют вид
В силу рассуждений предыдущего пункта,, откуда
- натуральное число. Этот случай вполне нас может устраивать, но здесь обязательна проверка - подстановка n в запись числа и прикидка количества делителей. Подставляя, имеем число:
Но мы видим, что число имеет 220 делителей, только лишь являющихся степенями двойки, не говоря про остальные делители(то есть, их не 42 явно). Поэтому условию задачи не удовлетворяет.
3)Пусть теперь имеем среди делителей и делители "смешанной" породы.
Как найти нам теперь n?
Пусть у нас есть какое-либо число вида . Какова структура делителей данного числа? Их три вида:
а)Вида . Очевидно, что , а потому всего их ;
б)Вида . Ясно, что , а всего их n-3+1 = n-2
Плюс ко всему замечаем, что два раза получается в делителе 1. Так что один лишний делитель я выбрасываю.
О чём это всё говорит? О том, что "чистых" делителей в точности
(убираем 1 отсюда)
в)Смешанные делители вида . Сколько их? Здесь уже практически чистая комбинаторика. Подсчитываем общее допустимое число делителей.
На каждую из степеней числа 2(всего их , но 0 не включается, а потому только 5n) можно поставить одну из степеней числа 3(всего их , но 0 не включаем, а потому n-3). Соответственно, получаем их комбинаций.
Всего делителей 42, так что
- не натуральное и даже не целое число.
Таким образом, . Произведём проверку:
- действительно, число имеет 42 натуральных делителя(40 - отличных от 1 и самого числа, и 2 особых делителя - само число и 1).