Обоснование. Как известно, число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, стоящих на нечетных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на четных, на число, делящееся на 11 (как частный случай эти суммы могут совпадать). Однако в нашем случае максимальное возможное отличие равно 8 (из двузначных это число 19, из трехзначных 129, 239, ..., 789). Докажем, что больше 8 никогда не получится.
1) Пусть в числе четное число знаков: Тогда
- это часть расстояния от до , а поскольку первая цифра не меньше 1, а последняя не больше 9, эта сумма не больше 8.
2) Пусть в числе нечетное число знаков: Тогда
то есть из вычитается часть расстояния между и
Поэтому снова больше 8 получиться не может.
Но одновременно мы видим, что 0 также не может получиться.
Вывод: число, у которого цифры идут в порядке возрастания, на 11 делиться не может.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ: делиться на 11 такое число не может.
Обоснование. Как известно, число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр, стоящих на нечетных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на четных, на число, делящееся на 11 (как частный случай эти суммы могут совпадать). Однако в нашем случае максимальное возможное отличие равно 8 (из двузначных это число 19, из трехзначных 129, 239, ..., 789). Докажем, что больше 8 никогда не получится.
1) Пусть в числе четное число знаков:
Тогда
2) Пусть в числе нечетное число знаков:
Тогда
то есть из
вычитается часть расстояния между 
и 
Поэтому снова больше 8 получиться не может.
Но одновременно мы видим, что 0 также не может получиться.
Вывод: число, у которого цифры идут в порядке возрастания, на 11 делиться не может.