[tex]y=\cos 2x+3\sin 2x\Rightarrow y'=-2\sin 2x+6\cos 2x\\y'=0\Rightarrow -2\sin 2x+6\cos 2x=0\overset{\cos 2x\neq 0}{\Leftrightarrow} 3-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=0\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 3-\mathrm{tg}2x=0\Leftrightarrow \mathrm{tg}2x=3\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left ( \mathrm{arctg}3+\pi k \right ),k\in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]\cos \mathrm{arctg}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \ \ \sin \mathrm{arctg}x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]

[tex]\cos \left ( 2\mathrm{arctg}3 \right )+3\sin \left ( 2\mathrm{arctg}3 \right )=\cos \mathrm{arctg}3+3\sin \mathrm{arctg}3=\\=\frac{1}{\sqrt{1+3^2}}+3\cdot \frac{3}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{9}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}[/tex]

Ответ: 10

Пошаговое объяснение:

Найдите наибольшее значение функции у = cos 2x + 3 sin 2x. В ответе укажите квадрат найденного значения.

Наибольшее и наименьшее значение для функции y = acosφ + bcosφ , можно найти воспользовавшись неравенством

[tex]-\sqrt{a^2 + b^2 } \leqslant a\cos \varphi + b \sin \varphi \leqslant \sqrt{a^2 +b^2}[/tex]

Где  [tex]\sqrt{a^2 + b^2}[/tex]  - максимальное значение ,  а    [tex]-\sqrt{a^2 + b^2}[/tex] - минимальное

В таком случае

[tex]-\sqrt{1^2 +3^2} \leqslant \cos 2x + 3 \sin 2x\leqslant \sqrt{1^2 + 3^2 } \\\\ -\sqrt{10} \leqslant \cos 2x + 3 \sin 2x\leqslant\sqrt{10}[/tex]

[tex]\sqrt{10 }[/tex] -  наибольшее значение функции у = cos 2x + 3 sin 2x , а  его квадрат равен 10