Ответ:

1/cos^2 (x) = 1 + tg^2 (x)

Подставим это в уравнение:

1 + tg^2 (x) = 4 tg(2x)

tg(2x) = 2tg(x)/1-tg^2 (x)

Подставим и это в уравнение

1 + tg^2 (x) = 8tg(x)/(1 - tg^2 (x)). Домножим обе части на знаменатель 1 - tg^2 (x)

(1+tg^2 (x))(1 - tg^2 (x)) = 8 tg (x)

1 - tg^4(x) = 8 tg(x)

tg^4 (x) + 8 tg(x) - 1 = 0

Далее, чтобы выразить корни в явном виде, необходимо использовать формулу Ферарри. Тут у тебя точно нет косяков с условием, перепроверь, пожалуйста.

Полагаю, ответа ждать - так и не дождусь. Решим то, что есть.

Заменим tg (x) на y - получим уравнение относительно y:

y^4 + 8y - 1 = 0

Выделим полный квадрат, прибавив и отняв 2y^2 и 1:

(y^2 + 1)^2 - 2y^2 + 8y - 2 = 0

Преобразуем:

(y^2 + 1)^2 = 2y^2 - 8y + 2

Прибавим к обеим частям некоторые числа вида 2(y^2 + 1)t и t^2, чтобы свернуть справа полный квадрат. Получим:

(y^2 + 1 + t)^2 = 2y^2 - 8y + 2 + 2(y^2 + 1)t + t^2

Хочется найти такое t, чтобы справа был полный квадрат. Когда это бывает? Правильно, когда дискриминант равен нулю. Найдем же его и приравняем к нулю.

Для начала преобразуем правую часть, раскрыв все скобки и приведя подобные:

2y^2 - 8y + 2 + 2ty^2 + 2t + t^2 = y^2 (2 + 2t) - 8y + t^2 + 2t + 2.

D = 64 - 4(2+2t)(t^2 + 2t + 2) = 48 - 32t -40t^2 - 8t^3. Найдем такие t, при которых дискриминант равен нулю.

48 - 32t -40t^2 - 8t^3 = 0 | : -8

t^3 + 5t^2 + 4t - 6 = 0. О, есть целый корень, t = -3. Разобьем на множители данный кубических многочлен:

t^3 + 5t^2 + 4t - 6 = (t+3)(t^2 +2t - 2) = (t+3)(t - (-1 - sqrt(3))(t - (-1 + sqrt(3) = 0.

Замечательно. Теперь вспомним, что такое t. Это такое число, при котором правая часть является полным квадратом. Используем это: свернем полный квадрат. Кстати, корень правой части равен: y = -(-8)/2(2 + 2t) = 2/(t+1).

y^2 (2 + 2t) - 8y + t^2 + 2t + 2 = 2(t+1)((y - 2/(t+1))^2.

Вернемся к исходному уравнению:

(y^2 + 1 + t)^2 = 2(t+1)((y - 2/(t+1))^2

Очевидно, что t+1 > 0, так как не вижу смысла вводить здесь комплексные числа, ведь задачка про тангенс) Очевидно, что единственное t, которое подходит под этот критерий, это t = sqrt(3) - 1. Подставим это значение:

(y^2 + sqrt(3))^2 = 2sqrt(3)(y - 2/sqrt(3))^2

Ну а далее, наконец, получаем обычное квадратное уравнение относительно y, извлекая корень из обеих частей, не забывая о модуле.

y^2 + sqrt(3) = sqrt(2sqrt(3))(y-2/sqrt(3) (1)

или

y^2 + sqrt(3) = -sqrt(2sqrt(3))(y-2/sqrt(3) (2)

Решим первое уравнение:

y^2 + sqrt(3) = sqrt(2sqrt(3))y - 2sqrt(2sqrt(3)) / sqrt(3)

y^2 - sqrt(2sqrt(3))y + sqrt(3) + 2sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3)

D = 2sqrt(3) - 4sqrt(3) - 8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) < 0 очевидно.

Решим второе уравнение:

y^2 + sqrt(3) = -sqrt(2sqrt(3))(y-2/sqrt(3)

y^2 + sqrt(3) = -sqrt(2sqrt(3))y + 2sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3)

y^2 + sqrt(2sqrt(3))y + sqrt(3) - 2sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3)

D = 2sqrt(3) - 4sqrt(3) + 8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) = 8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3)

y = (-sqrt(2sqrt(3)) + sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2

y = (-sqrt(2sqrt(3)) - sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2

Вспоминаем, что y = tg (x) и выполняем обратную подстановку.

tg (x) = (-sqrt(2sqrt(3)) + sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2

откуда x = arctg((-sqrt(2sqrt(3)) + sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2) + pi *n, n - целое

а так же

tg(x) = (-sqrt(2sqrt(3)) - sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2,

откуда x = arctg((-sqrt(2sqrt(3)) - sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2 ) + pi* n, где n - целое.

Ответ:

 x = arctg((-sqrt(2sqrt(3)) + sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2) + pi *n, n - целое

x = arctg((-sqrt(2sqrt(3)) - sqrt(8sqrt(2sqrt(3))/sqrt(3) - 2sqrt(3))) / 2 ) + pi* n, где n - целое.

Объяснение: спасибо Феррари и Кардано :*