Основное тригонометрическое тождество:

[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]

После деления на [tex]\cos^2x\neq 0[/tex] получим:

[tex]\mathrm{tg}{\,}^2x+1=\dfrac{1}{\cos^2x}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{ \mathrm{ctg}{\,}^2x} +1=\dfrac{1}{\cos^2x}[/tex]

[tex]\dfrac{1+\mathrm{ctg}{\,}^2x}{ \mathrm{ctg}{\,}^2x} =\dfrac{1}{\cos^2x}[/tex]

Следовательно:

[tex]\cos^2x=\dfrac{\mathrm{ctg}{\,}^2x}{1+ \mathrm{ctg}{\,}^2x}[/tex]

Формула косинуса двойного угла:

[tex]\cos2x=2\cos^2x-1[/tex]

Используя записанные выше формулы, получим:

[tex]\cos4a=2\left(\cos2a\right)^2-1=2\left(2\cos^2a-1\right)^2-1=[/tex]

[tex]=2\left(2\cdot \dfrac{\mathrm{ctg}{\,}^2a}{1+ \mathrm{ctg}{\,}^2a}-1\right)^2-1=2\cdot\left(2\cdot \dfrac{3^2}{1+3^2}-1\right)^2-1=[/tex]

[tex]=2\cdot\left(2\cdot \dfrac{9}{10}-1\right)^2-1=2\cdot\left(\dfrac{9}{5}-1\right)^2-1=[/tex]

[tex]=2\cdot\left(\dfrac{4}{5}\right)^2-1=2\cdot\dfrac{16}{25}-1=\dfrac{32}{25}-1=\dfrac{7}{25}[/tex]

Ответ: 7/25