Основные правила и формулы дифференцирования:

[tex](f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)[/tex]

[tex]\left(\dfrac{f(x)}{g(x)} \right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}[/tex]

[tex](f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)[/tex]

[tex](x^n)'=nx^{n-1}[/tex]

[tex](\cos x)'=-\sin x[/tex]

[tex](e^x)'=e^x[/tex]

Рассмотрим функцию:

[tex]y=\dfrac{x^5}{e^x} - \cos x^3[/tex]

Находим производную:

[tex]y'=\left(\dfrac{x^5}{e^x} - \cos x^3\right)'=\left(\dfrac{x^5}{e^x}\right)' -\left( \cos x^3\right)'=[/tex]

[tex]=\dfrac{(x^5)'\cdot e^x-x^5\cdot(e^x)'}{(e^x)^2} -( -\sin x^3)\cdot(x^3)'=\dfrac{5x^4\cdot e^x-x^5\cdot e^x}{(e^x)^2} +\sin x^3\cdot3x^2=[/tex]

[tex]=\dfrac{(5x^4-x^5)\cdot e^x}{(e^x)^2} +3x^2\sin x^3=\boxed{\dfrac{5x^4-x^5}{e^x} +3x^2\sin x^3}[/tex]