Ответ:

Пошаговое объяснение:

Представим ряд  в виде суммы двух рядов:

                                [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1+2^n}{3^n}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.[/tex]

Вспомним, как суммируется бесконечно убывающая геометрическая прогрессия  [tex]b_0+b_0\cdot q+b_0\cdot q^2+\ldots +b_0\cdot q^n+\ldots\ \ (|q| < 1):[/tex]

                                              [tex]S=\dfrac{b_0}{1-q}.[/tex]

Поэтому в нашей задаче получаем

                               [tex]\dfrac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}+\dfrac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{3-1}+\dfrac{2}{3-2}=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}.[/tex]

Для тех, кому трудно запомнить, чему равна сумма геометрической прогрессии: пишем

[tex]S=b_0+b_0\cdot q+b_0\cdot q^2+b_0\cdot q^3+\ldots = b_0+q(b_0+b_0\cdot q+b_0\cdot q^2+\ldots)=b_0+qS;[/tex]

[tex]S-qS=b_0;\ \ S(1-q)=b_0;\ \ S=\dfrac{b_0}{1-q}.[/tex]

Это рассуждение абсолютно правильное, только нужно быть уверенным в сходимости ряда.