Найти промежутки возрастания функции f(x)=(-x³/3)+9x²/2-18x+25.

Ответ:

Функция возрастает при х ∈ [3;6].

Объяснение:

Найдём производную функции:

[tex]\Large \boldsymbol {} f'(x)=(-\frac{x^3}{3} +\frac{9x^2}{2} -18x+25)'=(-\frac{1}{3}x^3)'+(\frac{9}{2}x^2)'-\\\\ -(18x)'+(25)'=-\frac{1}{3}*3x^{3-1} +\frac{9}{2} *2x^{2-1} -18*1=\\\\=-x^2+9x-18[/tex]

Найдём критические точки.

[tex]\Large \boldsymbol {} -x^2+9x-18=0 \\\\x\in(-\infty;+\infty)\\\\D=b^2-4ac=9^2-4*(-1)*(-18)=9\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a}=\frac{-9+\sqrt{9} }{-2*1} =\frac{-9+3}{-2}=3\\\\ x_1=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a}=\frac{-9-\sqrt{9} }{-2*1} =\frac{-9-3}{-2}=6[/tex]

Разбиваем крит. точками координатную плоскость на промежутки:

[tex]\Large \boldsymbol {} ----\boxed{3}++++\boxed{6} ----[/tex]

Функция возрастает на промежутках, где её производная больше нуля, убывает - меньше нуля.

Функция возрастает при х ∈ [3;6].

Функция убывает при х ∈ (-∞;3]U[6;+∞).