Verified answer

Дано:

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар.

R шара (ОО1, О1К) = 3 см.

∠SFO = 60˚.

Найти:

V пирамиды - ?

Решение:

Проведём биссектриса О1F.

△O1OF - прямоугольный, так как SO - высота.

=> ∠O1FO = O1FK = 60˚/2 = 30˚

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

=> O1F = 3 * 2 = 6 см

Найдём катет OF, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

b = √(c² - a²) = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см

Итак, OF = 3√3 см

△SOF - прямоугольный, так как SO - высота.

Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катера на √3.

=> SO = OF * √3 = 3√3 * 3 = 9 см.

Итак высота пирамиды SO = 9 см.

MO = OF = 3√3 см, так как SО - высота пирамиды.

=> MF = 3√3 * 2 = 6√3 см

Так как данная пирамида - четырёхугольная, правильная => основание этой пирамиды - квадрат.

Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

=> MF = AB = BC = DC = AD = 6√3 см

S квадрата = а², где а - сторона квадрата.

S квадрата = (6√3)² =  108 см²

V пирамиды = 1/3 * S квадрата * SO = 1/3 * 108 * 9 = 324 см^3

Ответ: 324 см^3