Дан квадратный трехчлен f(x) = x^2 – 2017x + 1. Найдите сумму действительных кор...

June 2022 1 27 Report

Дан квадратный трехчлен f(x) = x^2 – 2017x + 1. Найдите сумму действительных корней
уравнения f(f(x))=0
Подскажите, как это решается

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Ответ:

$4034$

Объяснение:

1) Рассмотрим квадратное уравнение $f(x)=0$ .

$D=(-2017)^2-4\cdot 1>0$ , а значит оно имеет 2 действительных корня. Пусть это числа $\alpha_1,\alpha_2; \alpha_1\neq\alpha_2$ .

Тогда, согласно теореме Виета, $\alpha_1+\alpha_2=2017;\;\alpha_1\cdot \alpha_2=1$ . При этом, так как и сумма, и произведение корней положительны, то и сами корни положительны.

2) Рассмотрим уравнение $f(f(x))=0$ . Оно квадратное относительно $f(x)$ .

Тогда, согласно пункту 1), оно равносильно совокупности уравнений $f(x)=\alpha_i, i=\overline{1,2}$ .

3) Рассмотрим квадратное уравнение $f(x)=\alpha_i$ :

$x^2-2017x + 1-\alpha_i=0$

$D=(-2017)^2-4(1-\alpha_i)=2017^2-4+4\alpha_i>4\alpha_i>0$ , так как, согласно пункту 1), $\alpha_i$ положительны. Значит, каждое из уравнений совокупности имеет 2 действительных корня.

4) Пусть уравнения совокупности имеют общий корень. Но тогда он будет и корнем их разности.

С другой стороны, разность имеет вид $-\alpha_1-(-\alpha_2)=0\Leftrightarrow \alpha_1=\alpha_2$ - противоречие с пунктом 1).

А значит уравнения совокупности общих корней не имеют.

5) С учетом пункта 3), по теореме Виета, сумма корней каждого из двух уравнений совокупности равна 2017.

Значит, сумма действительных корней рассматриваемого уравнения равна $2017+2017=4034$

4 votes Thanks 2

flyderty22 А что такое I?

igorShap О чем речь? Какой пункт Вам непонятен?

flyderty22 весь 2

igorShap А где там I ? По крайней мере, я смотрю с сайта - ничего похожего не вижу. Укажите, пожалуйста, конкретно, что имеется в виду
А суть пункта 2 - f(f(x))=0 при замене t=f(x) превращается в квадратное уравнение относительно t. А корни этого уравнения были найдены в пункте 1: числа \alpha_1 и \alpha_2. Очевидно, это можно записать как совокупность 2 уравнений t=\alpha_i. А это не что иное, как совокупность 2 уравнений f(x)=\alpha_i

Answers & Comments

Verified answer

pro chisla b i c izvestno chto 2 bc lt 7 i 3 lt c 5 najdite vse b dlya

v ravnobedrennoj trapecii s osnovaniyami ab icd diagonali ac i bd peresekayutsya v

pri kakih znacheniyah b rasstoyanie mezhdu dvumya razlichnymi tochkami v kotoryh parab

kg kakoe maksimalnoe davlenie mogut okazyvat eti penobloki na gorizontalnoe995c394ae60452f07840cad095e49413 27861

odin iz ostryh uglov pryamougolnogo treugolnika raven 60 a summa korotkogo kaeb49063746a270bee64a53e4cd10df33 23141

kg 1najdite davlenie v tochke oboznachennoj cifroj 1 otvet dajte v paskalyah b

najti vse naturalnye chisla a i b udovletvoryayushie uravneniyu 3a25ab192b2 ya

pomogite s domashkoj po anglijskomu 8kl 15 zadanie 100b

pomogite srochno dayu 50ballov

srochno pomogite s biologiejotdayu poslednie bally

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social