высоту к стороне длины 5 обозначим h, расстояние от основания этой высоты до вершины, общей со стороной длины 4 - обозначим х. Дальше сплошной Пифагор.

x^2 + h^2 = 4^2 = 16;

(5 - x)^2 + h^2 = 17;

25 - 10*x + x^2 + h^2 = 17;

25 - 10*x + 16 = 17; x = 2,4;

h = 3,2 (можно подставить в первое выражение и сосчитать, а можно увидеть, что треугольник со сторонами 2,4; h; 4; подобен треугольнику со сторонами 3; 4; 5; коэффициент пропорциональности 4/5)

Площадь (1/2)*5*3,2 = 8

По формуле Герона тоже можно вычислить, вот я бы и предложил советчику самому и сосчитать :))))))))))))))) Хотя ответ, само собой, получится такой же.

Кстати... давно хотел. обозначая стороны a,b,c, h - высота к с, х - кусок с между b и h, имеем

x^2 + h^2 = b^2;

(c - x)^2 + h^2 = a^2;

c^2 - 2*c*x + x^2 + h^2 = a^2;

x  = (c^2 + b^2 - a^2)/(2*c);

h = корень(b^2 - (c^2 + b^2 - a^2)^2/(2*c)^2));

Остюда

S = c*h/2 = (1/2)*корень(с^2*b^2 - ((c^2 + b^2 - a^2)/2)^2);

Я намеренно не буду приводить эту формулу к Героновскому виду, хотя это довольно просто. Громоздко, но  - несложно. Важно, что это выражение СОВЕРШЕННО РАВНОСИЛЬНО формуле Герона, а для конкректных расчетов проще - к примеру, для нашего треугольника сразу выходит

1/2*корень(16*25 - 12^2) = 8;

а вот пример отсюда 

znanija.com/task/544664

там стороны 10, 2*корень(10) и 2*корень(17).

Я по формуле Герона тупо считал час, не меньше. А по моей формулке (совершенно равносильной) это проще, чем 2х2

S = корень(4*17*4*10 - (4^2))/2 = 2*корень(170-1) = 26; почти устная задача :)) 

Verified answer

Решать надо по теореме Герона.Находим полупериметр(17(корень)+4+5)/2=9 корней из 17

затем подстевляем в теорему S=p(p-a)(p-b)(p-c)(все,что справа,сама формула,под корнем).подставляем,извлекаем корень и все.Удачи.