Сначала смотрим на левую схему, приложенную к решению задачи:
Сопротивления R1, R3 и R5 (отмечены зелёным) образуют трёх-контактный омический элемент R135,
Внутри R135 между контактами вокруг R1 – общее сопротивление: 1/[1/R+1/(2R+3R)] = [5/6]R .
Внутри R135 между контактами вокруг R3 – общее сопротивление: 1/[1/[2R]+1/(R+3R)] = [4/3]R .
Внутри R135 между контактами вокруг R5 – общее сопротивление: 1/[1/[3R]+1/(R+2R)] = [3/2]R .
Изменим схему на эквивалентную. Удалим все зелёные резисторы и поставим на их место красные R13, R15 и R35, чтобы они обеспечивали такое же омическое поведение элемента R135, а именно, чтобы:
R13 + R15 = [5/6] R ; [1]
R13 + R35 = [4/3] R ; [2]
R15 + R35 = [3/2] R ; [3]
Вычтем из последнего второе:
R15 – R13 = [1/6] R ;
Сложим это с первым:
R15 = R/2 ;
Из первого:
R13 = R/3 ;
Из второго:
R35 = R ;
На верхнем правом плече эквивалентной схемы: R15 + R2 = 2.5 R ; На нижнем правом плече эквивалентной схемы: R35 + R4 = 7 R ; Значит, ток на нижнем плече эквивалентной и исходной схемы будет обратно пропорционален сопротивлению, т.е. будет:
I4 = I [2.5R/9.5R] = [5/19] I ;
Теперь смотрим на правую схему, приложенную к решению задачи:
Сопротивления R2, R4 и R5 (отмечены зелёным) образуют трёх-контактный омический элемент R245. Внутри R245: между контактами вокруг R2 – общее сопротивление: [18/11]R , между контактами вокруг R4 – [30/11]R , между контактами вокруг R5 – [24/11]R .
Изменим схему на эквивалентную. Удалим зелёные резисторы R2, R4 и R5 и поставим на их место красные R24, R25 и R45 так, чтобы они обеспечивали такое же омическое поведение элемента R245, а именно, чтобы:
R24 + R25 = [18/11] R ; [4]
R24 + R45 = [30/11] R ; [5]
R25 + R45 = [24/11] R ; [6]
Вычтем из пятого шестое:
R24 – R25 = [6/11] R ;
Сложим это с [4]:
R24 = [12/11] R ;
Из первого:
R25 = [6/11] R ;
Из второго:
R45 = [18/11] R ;
На верхнем левом плече второй эквивалентной схемы: R1 + R25 = [17/11] R ; На нижнем левом плече второй эквивалентной схемы: R3 + R45 = [40/11] R ; Значит, ток на верхнем плече второй эквивалентной и исходной схемы будет обратно пропорционален сопротивлению, т.е. будет:
I1 = [40/57] I ;
Обобщая:
I4/I1 = ( [5/19] I ) / ( [40/57] I ) = 3/8 ;
I4 = [3/8] I1 = [3/8]*4 = 1.5 А;
ОТВЕТ: 1.5 А.
4 votes Thanks 2
logophobia
А как можно делать что-то без объяснений?
logophobia
Чтобы тебя не понимали и по сто раз переспрашивали??
logophobia
Уважаемые админы, пришлите мне, пожалуйста, на правку это решение. У меня в этом решении искомый ток выражен через общий ток в цепи, а нужно было выразить через ток в первом резисторе. Мы уже всё обсудили с задававшим задачу. Спасибо!
В ветке амперметра стоит довольно большое сопротивление, так что через него будет течь довольно слабый ток, к которому будет присоединяться ток из R5 идущий вниз.
Будем считать положительным направлением тока I5 – направление вниз. Если предложение неоправданно – мы просто будем иметь отрицательное значение для I5.
Итак: по всем сопротивлениям токи текут либо налево, либо вниз.
I3 = I4 + I5 ;
I2 = I1 + I5 ;
Общее падение напряжения на R3 и R5 равно падению напряжения на R1:
R3 I3 + R5 I5 = R1 I1 ;
Общее падение напряжения на R5 и R2 равно падению напряжения на R4:
R5 I5 + R2 I2 = R4 I4 ;
Подставляем в эти два уравнения полученные выше выражения для токов:
logophobia
Уважаемые админы, пришлите мне, пожалуйста, на правку это решение. У меня в этом решении искомый ток выражен через общий ток в цепи, а нужно было выразить через ток в первом резисторе. Мы уже всё обсудили с задававшим задачу. Спасибо!
ЮрВас
Не справляются админы, много работы, а их мало.
logophobia
:–) Извините, что подвела. Но реально правильный ответ мы уже обсудили, так что надеюсь, что всё ОК.
ЮрВас
Спасибо! Самый хороший 4-й вариант. Краткость - сестра таланта.
logophobia
«На переднем крае науки/искусства спереди» – краткость сестра таланта. Согласна. Если же хочется разжевать до мелкой кашицы двухсотлетнюю школьную задачу, то, возможно – не всегда так. Краткость, особенно когда она приводит к верному результату – эффектна и поразительна, краткость подобна фокусу: сначала птички нет – а потом «о-ля-ля» и птицка есть :–) Но для многих фокус так и остаётся неясным, куда делась птичка, откуда взялась птичка.
logophobia
Как проводить такой фокус с другими птичками, и т.п. Опять же: общность и зубодробительная прямолинейность подхода – самый верный способ в любом случае добиваться результата, даже если решение не удаётся построить в виде «фокуса». Это к разнице между третьим и четвёртым способом. Третий обладает большей общностью. Для любых аналогичных цепей с другими коэффициентами при R – формула уже готова, и не нужно снова решать систему, хоть и менее громоздкую, как в четвёртом коротком способе.
logophobia
Так что третий способ, на мой взгляд, более выгоден с точки зрения общности. Мы же не выделяем каждый раз при решении квадратного уравнения полный квадрат – мы просто пользуемся общим диофантовым решением с дискриминантом. Первый способ тут – в самом деле, тяжеловат, но в некоторых других случаях (например, когда нужно выразить ток одного элемента через общий ток) – он как раз пронзительно короток.
logophobia
Второй способ иногда полезен для нахождения токов в реальных системах с совсем запутанными связями.
Answers & Comments
Verified answer
ПЕРВЫЙ СПОСОБ:Сначала смотрим на левую схему, приложенную к решению задачи:
Сопротивления R1, R3 и R5 (отмечены зелёным) образуют трёх-контактный омический элемент R135,
Внутри R135 между контактами вокруг R1 – общее сопротивление: 1/[1/R+1/(2R+3R)] = [5/6]R .
Внутри R135 между контактами вокруг R3 – общее сопротивление: 1/[1/[2R]+1/(R+3R)] = [4/3]R .
Внутри R135 между контактами вокруг R5 – общее сопротивление: 1/[1/[3R]+1/(R+2R)] = [3/2]R .
Изменим схему на эквивалентную. Удалим все зелёные резисторы и поставим на их место красные R13, R15 и R35, чтобы они обеспечивали такое же омическое поведение элемента R135, а именно, чтобы:
R13 + R15 = [5/6] R ; [1]
R13 + R35 = [4/3] R ; [2]
R15 + R35 = [3/2] R ; [3]
Вычтем из последнего второе:
R15 – R13 = [1/6] R ;
Сложим это с первым:
R15 = R/2 ;
Из первого:
R13 = R/3 ;
Из второго:
R35 = R ;
На верхнем правом плече эквивалентной схемы: R15 + R2 = 2.5 R ;
На нижнем правом плече эквивалентной схемы: R35 + R4 = 7 R ;
Значит, ток на нижнем плече эквивалентной и исходной схемы будет обратно пропорционален сопротивлению, т.е. будет:
I4 = I [2.5R/9.5R] = [5/19] I ;
Теперь смотрим на правую схему, приложенную к решению задачи:
Сопротивления R2, R4 и R5 (отмечены зелёным) образуют трёх-контактный омический элемент R245. Внутри R245: между контактами вокруг R2 – общее сопротивление: [18/11]R , между контактами вокруг R4 – [30/11]R , между контактами вокруг R5 – [24/11]R .
Изменим схему на эквивалентную. Удалим зелёные резисторы R2, R4 и R5 и поставим на их место красные R24, R25 и R45 так, чтобы они обеспечивали такое же омическое поведение элемента R245, а именно, чтобы:
R24 + R25 = [18/11] R ; [4]
R24 + R45 = [30/11] R ; [5]
R25 + R45 = [24/11] R ; [6]
Вычтем из пятого шестое:
R24 – R25 = [6/11] R ;
Сложим это с [4]:
R24 = [12/11] R ;
Из первого:
R25 = [6/11] R ;
Из второго:
R45 = [18/11] R ;
На верхнем левом плече второй эквивалентной схемы: R1 + R25 = [17/11] R ;
На нижнем левом плече второй эквивалентной схемы: R3 + R45 = [40/11] R ;
Значит, ток на верхнем плече второй эквивалентной и исходной схемы будет обратно пропорционален сопротивлению, т.е. будет:
I1 = [40/57] I ;
Обобщая:
I4/I1 = ( [5/19] I ) / ( [40/57] I ) = 3/8 ;
I4 = [3/8] I1 = [3/8]*4 = 1.5 А;
ОТВЕТ: 1.5 А.
Verified answer
ТРЕТИЙ СПОСОБ:В ветке амперметра стоит довольно большое сопротивление, так что через него будет течь довольно слабый ток, к которому будет присоединяться ток из R5 идущий вниз.
Будем считать положительным направлением тока I5 – направление вниз. Если предложение неоправданно – мы просто будем иметь отрицательное значение для I5.
Итак: по всем сопротивлениям токи текут либо налево, либо вниз.
I3 = I4 + I5 ;
I2 = I1 + I5 ;
Общее падение напряжения на R3 и R5
равно падению напряжения на R1:
R3 I3 + R5 I5 = R1 I1 ;
Общее падение напряжения на R5 и R2
равно падению напряжения на R4:
R5 I5 + R2 I2 = R4 I4 ;
Подставляем в эти два уравнения
полученные выше выражения для токов:
R3 ( I4 + I5 ) + R5 I5 = R1 I1 ;
R5 I5 + R2 ( I1 + I5 ) = R4 I4 ;
R3 I4 + R3 I5 + R5 I5 = R1 I1 ;
R5 I5 + R2 I1 + R2 I5 = R4 I4 ;
R3 I4 + ( R3 + R5 ) I5 = R1 I1 ; || * R4
( R5 + R2 ) I5 + R2 I1 = R4 I4 ; || * R3 , и складываем:
R4 ( R3 + R5 ) I5 + R3 ( R5 + R2 ) I5 + R3 R2 I1 = R4 R1 I1 ;
( R4 ( R3 + R5 ) + R3 ( R5 + R2 ) ) I5 = ( R4 R1 – R3 R2 ) I1 ;
I1 = I5 ( R3*R4 + R4*R5 + R5*R3 + R2*R3 ) / ( R4 R1 – R3 R2 ) – перемножается попарно внешняя звёздочка R3, R4 и R5 и ещё внешняя диагональ R2*R3 ;
Аналогично:
I4 = I5 ( R1*R2 + R2*R5 + R5*R1 + R2*R3 ) / ( R4 R1 – R3 R2 ) – перемножается попарно внешняя звёздочка R1, R2 и R5 и ещё внешняя диагональ R2*R3 ;
I4/I1 = ( R1*R2 + R2*R5 + R5*R1 + R2*R3 ) / ( R3*R4 + R4*R5 + R5*R3 + R2*R3 ) ;
I4/I1 = ( 2 + 6 + 3 + 4 ) / ( 12 + 18 + 6 + 4 ) = 15/40 ;
I4 = [15/40] I1 ≈ [15/40] 4 ≈ 1.5 А ;
ЧЕТВЁРТЫЙ СПОСОБ (облегчённый третий):
I3 = I4 + I5 ;
I2 = I1 + I5 ;
R3 I3 + R5 I5 = R1 I1 ;
R5 I5 + R2 I2 = R4 I4 ;
2R ( I4 + I5 ) + 3R I5 = R I1 ;
3R I5 + 2R ( I1 + I5 ) = 6R I4 ;
2 I4 + 2 I5 + 3 I5 = I1 ;
3 I5 + 2 I1 + 2 I5 = 6 I4 ;
2 I4 + 5 I5 = I1 ;
5 I5 + 2 I1 = 6 I4 ; вычитаем:
2 I4 – 2 I1 = I1 – 6 I4 ;
8 I4 = 3 I1 ;
I4 = [3/8] I1 ≈ [3/8] 4 = 1.5 А .