Ответ:

основанием пирамиды может быть ромб

все высоты боковых граней равны

вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды

Равные двугранные углы измеряются как плоские углы, сторонами которых являются высота пирамиды и проекции высот боковых граней. Высота является общим катетом полученных

прямоугольных треугольников, у которых равны и противолежащие этому катету острые углы. Из чего следует равенство этих треугольников. Значить равны и вторые катеты-проекции, а так же гипотенузы-высоты боковых граней. Эти катеты есть перпендикуляры из точки основания высоты пирамиды. Из чего следует, что эта точка является центром окружности вписанного в основание пирамиды.

Из всего этого следует, что это возможно, тогда и только тогда когда основание пирамиды описано вокруг некоторой окружности. Т.е. основанием пирамиды может быть ромб.