Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 2 и боковым ребром 4. Точка М делит ребро SA в отношении 1:3, считая от вершины, К - середина BC. Найдите:
А) расстояние между MA и BC;
Б) расстояние от т. М до плоскости (SBC);
В) угол между МК и АС;
Г) угол между плоскостями (SBC) и (AMK).
А) расстояние между MA и BC;
Б) расстояние от т. М до плоскости (SBC);
В) угол между МК и АС;
Г) угол между плоскостями (SBC) и (AMK).
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
А) расстояние между MA и BC;
Оно равно длине перпендикуляра РК из точки К к ребру AS.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ASK.
Находим высоту пирамиды SO = Н. Точка О делит высоту основания в отношении 1/2.
АО = (2/3)*АК = (2/3)*(2√3/2) = 2√3/3.
Тогда SO = Н = √(4² - (2√3/3)²) = √(16 - 4/3)) = √(44/3) = 2√(11/3).
Используем равенство AK*SO = AS*PK.
Ответ: РК = √3*2√(11/3)/4 = √11/2.
Б) расстояние от т. М до плоскости (SBC);
Находим апофему А = √(SO² + (AK/3)²) = √(44/3) + (1/3)) = √(45/3) = √15.
Находим перпендикуляр из точки А к плоскости SBC. Это отрезок АТ - перпендикуляр из точки А на апофему А = SK.
Используем равенство AK*SO = SR*AT.
Отсюда AT = √3*2√(11/3)/√15 = 2√(11/15).
Из подобия имеем: расстояние от точки М до SВС равно (1/4) АТ.
Ответ: расстояние от т. М до плоскости (SBC) равно (2√(11/15))/4 = √11/(2√15) = √165/30.
В) угол между МК и АС;
МК и АС – это скрещивающиеся прямые. Чтобы найти угол между ними, сделаем параллельный перенос отрезка МК точкой К в точку С.
Точка М передвинется в точку М1 на длину, равную половине стороны основания, то есть на 1.
Найдём длину МК.
Высота точки М равна h(M) = (3/4)*Н = (3/4)*( 2√(11/3)) = √33/2.
Проекция точки М на АК - это точка М2.
Проекция МК - это отрезок М2К
Он равен ОК + ОМ2 = (1/3)АК + (1/4)*(2/3)АК = (1/2)АК = √3/2.
Отсюда находим МК = √(М2К² + (h(M))²) = √((3/4) + (33/4) = √36/4 = √9 = 3.
Рассмотрим проекцию треугольника АММ1 на основание – это будет треугольник АМ2М3. Он прямоугольный, так как отрезок М2М3 параллелен стороне ВС.
Проекция АМ – это АМ2 = (3/4)*АО = (3/4)*( 2√3/3) = √3/2.
Отсюда определяем АМ3 = √((АМ2)² + 1²) = √((3/4) + 1) = √7/2.
Находим АМ1 = √(АМ3)² + (h(M))²) = √((7/4) + (33/4)) = √(40/4) = √10.
Получили треугольник АСМ1 со сторонами: АС = 2, СМ = МК = 3, АМ1 = √10.
Искомый угол – это угол АСМ1.
По теореме косинусов: cos АСМ1 = (4 + 9 – 10)/(2*2*3) = 3/12 = 1/4.
Угол АСМ1 = arc cos(1/4) = 1,318116 радиан или 75,52249 градуса.
Ответ: угол между прямыми МК и АС равен 75,52249 градуса.
Г) угол между плоскостями (SBC) и (AMK).
Так как плоскость SCB проходит через прямую BC, перпендикулярную плоскости AMK, то эти плоскости перпендикулярны.
Ответ: угол между плоскостями (SBC) и (AMK) равен 90 градусов.