Поскольку, все стороны квадрата ABCD равны , как и половинки его сторон, то прямоугольные треугольники:

ΔB1BC =ΔA1AB=ΔC1CD=ΔD1DA по двум катетам.

В следствие этого равны и их острые углы.  На рисунке один из острых углов данных треугольников обозначен зеленым цветом, а другой красным. Будем обозначать их как ∠К и ∠З.

Гипотенузы данных треугольников обозначим как x. Поскольку это острые углы прямоугольного треугольника, то ∠K+∠З = 90°

Из рисунка видно, что в ΔB1QC , два из его углов красный и зеленый, а значит из суммы углов треугольника ∠B1QC = 90°

Поскольку ∠B1QC и ∠RQP - вертикальные, то  ∠RQP = 90°

Аналогично из симметрии  доказывается, что все углы четырехугольника PQRS - прямые.

Так же очевидно, что прямоугольные ΔASD1 = ΔBPA1 = ΔСQB1 = ΔDRC1

по равным гипотенузам,  что являются половинами сторон квадрата и острым углам. Обозначим катеты этих треугольников за a и b.

Таким образом :

SP = PQ = QR = RS = x-a-b .

То есть у четырехугольника  PQRS все стороны равны и все углы прямые, иначе говоря он является квадратом.