разложу подкоренное выражение

2x^2+3x+1=2(x+1)(x+1/2)=(x+1)(2x+1)

D=9-8=1

x1=(-3+1)/4=-1/2

x2=(-3-1)/4=-1

пусть √(x+1)=a; √(2x+1)=b

тогда √(2x^2+3x+1)=√(x+1)*√(2x+1)=ab

3x+2=2x+1+x+1=a^2+b^2

значит 3x-4=3x+2-6=a^2+b^2-6

теперь в начальном уравнении все перенесу влево

3x-4+2√(2x^2+3x+1)+√(x+1)+√(2x+1)=0

a^2+b^2-6+2ab+a+b=0

a^2+2ab+b^2+a+b-6=0

(a+b)^2+(a+b)-6=0

пусть a+b=c

c^2+c-6=0

D=1+24=25

c1=(-1+5)/2=2;

c2=(-1-5)/2=-3-не подходит, так как a>0;b>0; a+b=c>0

тогда a+b=2

√(x+1)+√(2x+1)=2

возвожу все в квадрат

x+1+2x+1+2√(x+1)(2x+1)=4

√(x+1)(2x+1)=(2-3x)/2=1-1.5x  (***)-учитывая что слева положительное значение, то и справа должно быть тоже, значит 1-1.5x≥0; x≤2/3

возвожу все в квадрат снова

(x+1)(2x+1)=(1-1.5x)^2

2x^2+3x+1=2.25x^2-3x+1

-0.25x^2+6x=0

x(6-0.25x)=0

x1=0

x2=24-не подходит , так как в (***)x≤2/3)

Ответ x=0