Не увидела связи между прямоугольником  и рассматриваемым. потому решение может не очень красивое.

Заметим, что есть узловая точка , которая делит прямоугольник на два (по диагонали), в которых количества пересекаемых квадратиков равны и потому можно посчитать только в одном из них.

Рассмотрим две горизонтальные прямые и диагональ. Внутри они образуют прямоугольный треугольник, один из катетов которого (горизонтальный) равен . Ну а тогда второй равен , а потому количество пересекаемых квадратов в каждой из горизонталей либо , либо . Поймем, когда их три.

Три квадратика образуются тогда и только тогда, когда точки пересечения соседних вертикалей находятся между соседними горизонталями. Для этого требуется, чтобы точка ( --  номер вертикали) достаточно далеко находилась от ближайшего целого, то есть дробная часть , что равносильно тому, что , поскольку иначе число дает остаток, не меньший . Но , а потому единственными решениями будут , то есть крайние вертикали, что не подходит. Значит, во всех горизонталях задеваются ровно два квадрата, а значит всего .