Стандартное доказательство теорем Чевы и Ван-Обеля такое. Через вершину A (все равно какую, это не принципиально) проводится прямая параллельно BC, прямые CC1 и BB1 продолжаются до пересечения с этой прямой в точках C2 и B2 соответственно. Получается целая куча подобных треугольников, из которых получаются следующие пропорции. Из подобия ΔAC1C2 и ΔBCC1 AC1/BC1 = AC2/BC; (1) Из подобия ΔAB1B2 и ΔBCB1 AB1/CB1 = AB2/BC; (2) Из подобия ΔAC2K и ΔA1CK AC2/CA1 = AK/KA1; (3) Из подобия ΔAB2K и ΔA1BK AB2/BA1 = AK/KA1; (4) Если два последних равенства (3) и (4) поделить друг на друга, получится AC2/AB2 = CA1/BA1; Из первых двух равенств (1) и (2) получается (AC1/BC1)*(CB1/AB1) = AC2/AB2 = (как только что показано) = CA1/BA1; Отсюда получается теорема Чевы (AC1*BA1*CB1)/(AB1*CA1*BC1) = 1; (5) то есть если AA1; BB1 и CC1 пересекаются в одной точке K, то выполнено соотношение (5). Но это еще не все, что можно получить. Из (3) и (4) получается AC2 = (AK/KA1)*CA1; AB2 = (AK/KA1)*BA1; то есть B2C2 = (AK/KA1)*(CA1 + BA1) = (AK/KA1)*BC; или B2C2/BC = AK/KA1; Если сложить (1) и (2), получится AC1/BC1 + AB1/CB1 = (AC2 + AB2)/BC = B2C2/BC; получилась теорема Ван-Обеля AK/KA1 = AC1/BC1 + AB1/CB1; (6)
Теперь решение задачи. Я перехожу от общепринятых обозначений к обозначениям на чертеже автора. Пусть N - точка пересечения CF и AB; Из (5) (AD/DC)*(CE/EB)*(BN/AN) = 1; из (6) AF/FE = AN/BN + AD/DС; то есть AF/FE = (AD/DC)*(CE/EB) + AD/DC = (AD/DC)*(1 + CE/EB); что и требовалось.
0 votes Thanks 1
cos20093
Разумеется, есть и ОБРАТНАЯ теорема Чевы, которая утверждает, что ЕСЛИ выполнено (5), ТО AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказывается она от противного - предполагается, что они НЕ пересекаются в одной точке, но (5) выполнено. Тогда можно указать еще прямую AA2 которая проходит через точку пересечения BB1 и CC1. Для A2 (5) тоже выполнено, откуда получается, что A1 и A2 совпадают. Что противоречит предположению, что AA1 и AA2 - разные прямые. Это доказывает обратную теорему Чевы.
cos20093
Немного раньше я приводил другое доказательство ТЧ, через площади 6 треугольников, на которые чевианы делят исходный.
Answers & Comments
Verified answer
Стандартное доказательство теорем Чевы и Ван-Обеля такое. Через вершину A (все равно какую, это не принципиально) проводится прямая параллельно BC, прямые CC1 и BB1 продолжаются до пересечения с этой прямой в точках C2 и B2 соответственно.Получается целая куча подобных треугольников, из которых получаются следующие пропорции.
Из подобия ΔAC1C2 и ΔBCC1
AC1/BC1 = AC2/BC; (1)
Из подобия ΔAB1B2 и ΔBCB1
AB1/CB1 = AB2/BC; (2)
Из подобия ΔAC2K и ΔA1CK
AC2/CA1 = AK/KA1; (3)
Из подобия ΔAB2K и ΔA1BK
AB2/BA1 = AK/KA1; (4)
Если два последних равенства (3) и (4) поделить друг на друга, получится
AC2/AB2 = CA1/BA1;
Из первых двух равенств (1) и (2) получается
(AC1/BC1)*(CB1/AB1) = AC2/AB2 = (как только что показано) = CA1/BA1;
Отсюда получается теорема Чевы
(AC1*BA1*CB1)/(AB1*CA1*BC1) = 1; (5)
то есть если AA1; BB1 и CC1 пересекаются в одной точке K, то выполнено соотношение (5). Но это еще не все, что можно получить.
Из (3) и (4) получается
AC2 = (AK/KA1)*CA1; AB2 = (AK/KA1)*BA1;
то есть B2C2 = (AK/KA1)*(CA1 + BA1) = (AK/KA1)*BC;
или B2C2/BC = AK/KA1;
Если сложить (1) и (2), получится
AC1/BC1 + AB1/CB1 = (AC2 + AB2)/BC = B2C2/BC;
получилась теорема Ван-Обеля
AK/KA1 = AC1/BC1 + AB1/CB1; (6)
Теперь решение задачи. Я перехожу от общепринятых обозначений к обозначениям на чертеже автора. Пусть N - точка пересечения CF и AB;
Из (5)
(AD/DC)*(CE/EB)*(BN/AN) = 1;
из (6)
AF/FE = AN/BN + AD/DС;
то есть AF/FE = (AD/DC)*(CE/EB) + AD/DC = (AD/DC)*(1 + CE/EB); что и требовалось.