Докажите методом математической индукции следующее выражение (смотрите фото)
Answers & Comments
KayKosades
Решать за тебя все примеры не буду. Подробнейшим образом распишу первый пример, а дальше САМА. а) n!+(n+1)!=n!(n+2). Проверим верно ли это равенство для n=1: 1!+2!=1!(1+2)! 3=3 - верно. А теперь докажем, что если равенство верно для некоего n=k, то из этого следует что оно верно и для следующего n, то есть для n=k+1. Запишем равенство для n=k+1 (k+1)!+(k+2)!=(k+1)!(k+3). (k+1)!(k+2)=(k+2)!. Теперь вспомним формулу (k+1)!=k!(k+1): k!(k+2)(k+1)=(k+2)! Что мы тут видим знакомого? k!(k+2). Так как мы препдоположили что для n=k равенство верно, мы можем записать k!(k+2) как k!+(k+1)!. (k+1)(k!+(k+1)!)=(k+2)! (k+1)!+(k+1)(k+1)!=(k+2)! (k+1)!(k+2)=(k+2)! (k+2)!=(k+2)! Мы получили верное равенство, тем самым доказав что если равенство верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. это доказывает что оно верно для всех натуральных n. Ведь сначала мы показали что оно верно при n=1. Но согласно нашему доказательству тогда оно должен быть верно и для n=1+1=2, а если верно для n=2, то верно и для n=2+1=3 и т.д. Вооот. Удачи, короче.
Answers & Comments
а) n!+(n+1)!=n!(n+2). Проверим верно ли это равенство для n=1:
1!+2!=1!(1+2)!
3=3 - верно.
А теперь докажем, что если равенство верно для некоего n=k, то из этого следует что оно верно и для следующего n, то есть для n=k+1. Запишем равенство для n=k+1
(k+1)!+(k+2)!=(k+1)!(k+3).
(k+1)!(k+2)=(k+2)!. Теперь вспомним формулу (k+1)!=k!(k+1):
k!(k+2)(k+1)=(k+2)!
Что мы тут видим знакомого? k!(k+2). Так как мы препдоположили что для n=k равенство верно, мы можем записать k!(k+2) как k!+(k+1)!.
(k+1)(k!+(k+1)!)=(k+2)!
(k+1)!+(k+1)(k+1)!=(k+2)!
(k+1)!(k+2)=(k+2)!
(k+2)!=(k+2)!
Мы получили верное равенство, тем самым доказав что если равенство верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. это доказывает что оно верно для всех натуральных n. Ведь сначала мы показали что оно верно при n=1. Но согласно нашему доказательству тогда оно должен быть верно и для n=1+1=2, а если верно для n=2, то верно и для n=2+1=3 и т.д.
Вооот. Удачи, короче.